Introducción
Esto puede parecer una pregunta extraña o incluso un tonto uno, pero topología es enorme y me parece que hago el progreso más rápido trabajando mi camino a través de él tratando de ideas en voz alta dentro de los oídos de las personas que pueden reducir rápidamente si estoy perdiendo mi tiempo. Puede parecer más como una discusión, pero yo preferiría que se llevó a cabo como un post porque quiero hacer más que charlar sobre ello. Hay una pregunta específica al final de este.
El Evento Principal
Comenzando en la parte inferior (o superior si te gusta) de los análisis abstracto de la escalera tenemos un conjunto con ninguna estructura. A continuación, vamos arriba (o hacia abajo) a la siguiente escalón y definir una topología y tenemos la continuidad de una función $f: X \to Y$, $X$ y $Y$ ambos espacios topológicos, con $U = f^{-1}(V)$ abierta en $X$ siempre $V$ abierta en $Y$. Ya podemos hablar de la continuidad de la suma y la multiplicación escalar en un espacio vectorial, con sólo definir una topología. Con los límites de las secuencias se trata de tener arbitraria abrir barrios de un punto dejando fuera sólo un número finito de puntos de la secuencia.
Entonces, si queremos que las cosas han distancias entre ellos, podemos pasar a otro escalón y definir una métrica, de preferencia de uso real en la solución de un problema interesante en el análisis que se opone a una patológica contraejemplo, y determinar si nuestros espacios de interés son metrizable y así sucesivamente.
La Pregunta
Ahora podemos empezar a hablar acerca completa de métricas de espacios. Todos los que miro, la integridad se discute en el contexto de un espacio métrico. Por ejemplo, en Steen y Seebach del Contraejemplos en Topolgy, su definición de integridad se da en términos de un espacio métrico, Munkres de la misma manera. Aquí es donde me pongo a pensar que hemos hecho topológico versiones de continuidad y convergencia que pueden ser aplicadas mediante una topología, por lo que existe una versión de integridad que puede ser definido exclusivamente topológicamente? La convergencia, por lo que si Cauchy podría entonces no sería.
Filosófica Epílogo
Para mí, el punto entero de la construcción de la actual enorme edificio de la matemática abstracta de la maquinaria fue para iluminar todo en el nivel más fundamental con el fin de refinar nuestro entendimiento y avanzar a una mayor matemática alturas en lugar de enredarse en los detalles particulares de una versión particular de un tipo particular de problema. Estamos teniendo éxito? O es matemáticas acaba convirtiendo en demasiado complicado?
Conclusión
Después de la discusión a continuación, el punto a destacar es que Cauchyness implica cercanía y cómo hacerlo sin una métrica. Originalmente había pensado erróneamente Cauchyness podría encontrar su camino en un puro topológica de la configuración, ya que se me había olvidado que yo estaba usando un topológica de la definición que se utiliza en espacios vectoriales sin la ventaja de una métrica. La ventaja de restar no es menos allí y mata al punto. Me di cuenta de lo cuidadoso que uno tiene que ser con las palabras que uno usa para hablar de esto, incluso en asuntos en los que están permitidos. ¿Qué significa "cero" significa en un conjunto arbitrario?
Originalmente anteriormente he utilizado la palabra "pequeño" cuando se refiere a la convergencia. Es una especie de implícita en el hecho de que $N$ puede tener que ser muy, muy grande en función de que se abra el vecindario que usted elija, pero no tenemos manera de medir la "pequeña" en la pura topológica de la etapa. De todos modos, la respuesta es clara, no tiene que ser algo más que la definición de una topología de ser capaz de tratar la finalización.
Incluso la idea de compacidad no todo en general. En espacios donde la unidad de la bola (ya medición) no es compacto, necesitamos equi-continuidad para establecer la compacidad.
También veo que nadie quería entrar en la cuestión filosófica.
