"Puntos" en la geometría algebraica: ¿por Qué cambio de la m-Spec Spec?

Question

¿Por qué se algebraica de los geómetras en el Siglo 19 el pensamiento de m-Spec como el conjunto de puntos de una variedad afín asociado a la anillo mientras que, en algún momento en el medio del Siglo 20, la gente comenzó a pensar Spec era más apropiado como "un conjunto de puntos".

¿Cuáles son las ventajas de la Especificación de enfoque? Específicos de teoremas?

Answer 1

La razón básica de que en mi mente para el uso de la Especificación es porque se hace de la categoría de los afín esquemas equivalente a la categoría de anillos conmutativos. Esto significa que si usted está confundido acerca de lo que está pasando en geométricamente (que usted), puede volver a trabajar con el álgebra. Y si usted tiene algunos resultados impresionantes en el álgebra conmutativa, que automágicamente convertido en los resultados en la geometría.

Existe otra razón por la que la Especificación es más natural. En primer lugar, tengo que convencerlo de que cualquier tipo de geometría se debe hacer en LRS, la categoría del local rodeado de espacios. Localmente anillado espacio es un espacio topológico con una gavilla por primicia de los anillos ("la gavilla de (admisible) de las funciones en el espacio") de tal manera que los tallos son locales anillos. ¿Por qué deben los tallos de ser local anillos? Porque incluso si usted generalizar (o especialización) su noción de una función, usted quiere tener la noción de una función de fuga en un punto, y las funciones que se desvanecen en un punto debe ser muy especial (lea: única máxima) ideal en el tallo. Alternativamente, los valores de las funciones en los puntos que deberían ser los elementos de los campos; si el valor es un elemento de otro tipo de anillo, entonces realmente no estás mirando a un punto.

Supongamos que usted cree que la geometría debe ser hecho en la LRS. A continuación, hay una muy natural functor LRS→Anillo dada por (X,O_X)→S_X(X). Resulta que este functor tiene un adjunto: nuestro héroe Spec. Para cualquier localmente anillado espacio X y cualquier anillo a, que han Hom_LRS(X,Spec(A))=Hom_Anillo(a,O,_X(X)) ... puede parecer un poco raro porque no estás acostumbrado a contravariante functors ser adjoints. Esta es otra razón por la que los espacios de la forma Spec(A) (en lugar de mSpec(A)) son muy especiales.

Ejercicio: ¿qué sucede si usted se acaba de trabajar en RS, la categoría de anillos espacios? ¿Qué sería de tu colección especial de espacios? Sugerencia: es muy aburrido.

Edit: Pues parece que no hay mucho interés en mi ejercicio, voy a publicar la solución. El medico adjunto del functor RS→Anillo que lleva un anillado espacio global de las secciones de la estructura de la gavilla es el functor que lleva un anillo para el punto uno topológica del espacio, con la estructura de la gavilla igual a la del anillo.

Answer 2

Atiyah-MacDonald, el ejercicio 1.26, menciona que una de las ventajas de la especificación sobre max-spec: Dado un mapa de los anillos A -> B, se obtiene un mapa de la especificación B -> spec A, pero no necesariamente un mapa max-spec B -> max-spec A, ya que la imagen inversa de un máximo ideal no necesita ser máxima.

Answer 3

Para empezar, es importante mencionar que en el caso de Jacobson anillos (y, más generalmente, Jacobson esquemas) (http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobson_ring por ejemplo, tiene una definición) que el espectro de la máxima puntos es equivalente a la de espectro completo.

Sin embargo, en general este no es el caso y trabajar con no-cerrada puntos permite una mayor flexibilidad mediante el uso de argumentos apoyándose en genérico puntos por ejemplo. Otro ejemplo es la técnica común de la reducción de los argumentos para local de declaraciones; en general local anillos no puede ser Jacobson (en otras palabras, uno no debe de vista de un no-artinian anillo local como a sólo un punto de cierre).

Un ejemplo de lo que puede ir mal con el espectro de cerrado de puntos está dado por la siguiente http://math.berkeley.edu/~ogus/Matemáticas%20_256A--08/bigval.pdf donde un cuasi-afín esquema con ningún punto de cierre se construye.

Answer 4

Hubo alguna discusión acerca de esto (y otras cosas), en el secreto de los blogs seminario bastante recientemente: http://sbseminar.wordpress.com/2009/08/06/algebraic-geometry-without-prime-ideals/

Answer 5

La razón por la que $\operatorname{Spec}$ es una noción importante es porque se resuelve el siguiente problema para un anillo conmutativo $$:

Encontrar un anillo local de $\mathcal O$ junto con una localización de morfismos $A \a \mathcal O$ tal que todos los demás localización de morfismos $A \a B$ a un anillo local $B$ factores como un local de morfismos de más de $A \a \mathcal O$, es decir, se busca, por una especie de universal localización de $A$.

Declaró lo anterior, este problema no tiene solución, al menos mientras uno no está dispuesto a dejar el mundo de los anillos en la categoría de conjuntos. Sin embargo, una solución en la siguiente más generales de configuración:

No es un topos de $X$, dotado de un anillo local de objetos de $\mathcal O$ y una localización de morfismos $A \a \mathcal O$ tal que para todos los otros topos $Y$ junto con un anillo local objeto $B$ y una localización de morfismos $A \a B$ hay un par de un geométrica de morfismos $f\colon Y \X$ y una de morfismos de $f^* \mathcal O \a B$ de los locales de los anillos, lo que es único a un único isomorfismo natural, tal que $A \a B$ es dada por la composición de $f^* \mathcal O \a B$ y $\f^* \mathcal O$.

De hecho, la solución a este problema es el topos de $X$ de poleas en $\operatorname{Spec}$, junto con la estructura gavilla de $\mathcal O_X$ como un anillo local objeto. Ahora si reemplazar $\operatorname{Spec}$ por el max-espectro, localmente anillado de la gavilla topos usted obtener no va a resolver el universal localización del problema en general.

Esto significa que la definición habitual de $\operatorname{Spec}$ con el primer ideales es una correcta (siempre y cuando uno está trabajando en la lógica clásica con el axioma de elección), pero esto no significa que es la única definición correcta: Usted puede, por ejemplo, reemplazar $\operatorname{Spec}$ por cualquier otro espacio topológico o, más en general, por cualquier otro sitio que la gavilla topos más aún es equivalente a $X$.