Ideales de anillos de polinomios y extensiones de campo

Question

Que $F \subseteq K$ campos y Supongamos que $f_1, ... , f_t \in F[X_1, ... , X_n]$. Que $R = F[X_1, ... , X_n]$ y que $S = K[X_1, ... , X_n]$. ¿Es siempre cierto que $(f_1S + \cdots + f_t S) \cap R = f_1R + \cdots + f_t R$?

Esto parece una cosa natural para concluir, y creo que puedo probar esto en el caso $t = 1$, pero también sé que las intersecciones siempre no distribuyan en cantidades.

Answer 1

Sí, es cierto.

El anillo extensión $R = F[X_1, ... , X_n]\subset S = K[X_1, ... , X_n]$ tiene la propiedad de que $S$ es un # gratis $R$-módulo (puesto que $K$ es un # gratis $F$-módulo). Esto demuestra que es fielmente plano y hemos terminado.