Demostrando que $N$ es un múltiple.

Question

Estoy lidiando con el siguiente ejercicio de Munkres, "Análisis de los Colectores":

Deje $f:\mathbb R^{n+k}\rightarrow \mathbb R^n$ ser de clase $C^r$. Deje $M$ ser el conjunto de todos los $x$ tal que $f(x)=0$. Suponga que $M$ no está vacío y que $Df(x)$ rango $n$$x \in M$. A continuación, $M$ $k$- variedad sin límite en $\mathbb R^{n+k}$. Además, si $N$ es el conjunto de todos los $x$ para los que

$$f_1(x)=\dots=f_{n-1}(x)=0 \, \, \text{ and } \, \, f_n(x)\geq 0$$

y si la matriz $$\partial (f_1, \dots, f_{n-1})/\partial x$$has rank $n-1$ at each point of $N$, then $N$ is a $k+1$ manifold and $\parcial N=M$.

La primera parte (que indica que $M$ $k$- variedad sin límite) es claro para mí. Sin embargo, no sé qué hacer para demostrar la segunda parte.

Answer 1

Para los puntos en $N$ $f_n(x)>0$ no es el supuesto en el rango de $\partial(f_1,\dots,f_{n-1})/\partial x$. Por lo tanto usted obtener cartas locales (en la dimensión $k+1$) por el mismo argumento que utiliza para $M$ en la dimensión $k$.

Por lo tanto el único problema es conseguir que los gráficos adecuados para $N$ alrededor de los puntos de $x\in M$ (en el que se asume en el rango está satisfecho automáticamente). Para un punto de $x$, el estándar de prueba de que $M$ es un submanifold le da un abrir vecindario $U$ $x$ $\mathbb R^{n+k}$ y las funciones lisas $g_1,\dots, g_k:U\to\mathbb R$ tal que $(f_1,\dots,f_n,g_1,\dots,g_k)$ define un diffeomorphism de $U$ a un subconjunto abierto de $\mathbb R^{n+k}$. A continuación, utilice $(g_1,\dots,g_k)$ como un gráfico en $U\cap M$. Pero de la misma manera, usted puede utilizar $(f_n,g_1,\dots, g_k)$ como un gráfico de $U\cap N$, que por supuesto ahora tiene valores en un espacio medio, mostrando así que los $N$ es un submanifold de dimensión $k+1$ con límite de $M$.

Answer 2

Una manera de pensar acerca de esto es considerar en primer lugar sólo la primera de $(n-1)$ mapas, en $\mathbb{R}^{n-1}$. Allí la preimagen de $0$ $(k+1)$- colector, vamos a llamar a $D$ [esta es la primera parte]. A continuación, considere, por la restricción, el mapa de $f_n:D\rightarrow\mathbb{R}$. La preimagen de $(0,\infty)$ es un subconjunto abierto de $D$ (por continuidad), por lo que es un $(k+1)$ dimensiones múltiples. La preimagen de $0$ $M$ (la primera parte). Mostrando todo encaja bien ($M$ es el límite, etc.) Puede ser hecho usando el hecho de que, localmente, $f_n$ se parece a $f_n(x _1,\ldots,x_{k+1})=x_{k+1}$.