Medibles funciones con la misma integral a través de un conjunto

Question

Supongamos $f:\mathbb R \to \mathbb R,g:\mathbb R \to \mathbb R $ son Lebesgue medibles con $\int_{\mathbb R}f(x)=\int_{\mathbb R}g(x)=1$.

Cómo mostrar que para cada $r\in(0,1)$, no es mensurable $E \subset \mathbb R$ tal que $\int_{ E}f(x)=\int_{ E}g(x)=r$?

Answer 1

Para $r = 1/2$, hay un intervalo de $E$ para que este tiene. Hay varias pruebas de este hecho se dan en:

Totik, Vilmos. Un cuento de dos integrales. American Mathematical Monthly 106: 227-240, 1999. MathSciNet | texto Completo (JSTOR)

(Estas pruebas se dan reemplazando el dominio $\mathbb{R}$$[0,1]$, por lo que aplicar la evidente transformación. Totik también da una prueba de que la deseada igualdad sostiene con $E$, un intervalo , si y sólo si $r = 1/k$ para algunos entero $k$.)

Así que vamos a $E_1$ ser un (abierto) intervalo tal que $\int_{E_1} f = \int_{E_1} g = 1/2$. A continuación, aplicando el mismo resultado a $f_1 = 2f1_{E_1^c}$, $g_1 = 2 g 1_{E_1^c}$, podemos producir $E_2$, disjunta de a $E_1$, con $\int_{E_2} f = \int_{E_2} g = 1/4$. ($E_2$ no puede ser un intervalo, porque tenemos que quitar $E_1$ a partir de ella, pero nos puede llevar a ser una unión finita de intervalos abiertos.) De proceder, se pueden producir distintos conjuntos de $E_n$$\int_{E_n} f = \int_{E_n} g = 2^{-n}$. Ahora, considere el binario de expansión de $r$ y tomar la unión de la correspondiente $E_n$. El conjunto resultante $E$ es no sólo mensurables, sino en el hecho de abrir.

Espero no pasar por alto los detalles sutiles...

Answer 2

En el caso especial $f\ge 0$, $g\ge 0$, esto se deduce del teorema de Lyapunov que indica que el rango de un vector de medida es convexo. En el contexto actual, esto significa que el conjunto de $R:=\{(\int_E f(x)\,dx,\int_E g(x)\,dx): E\in{\mathcal L}\}$ es un subconjunto convexo de $[0,1]^2$. (Aquí se ${\mathcal L}$ indica el $\sigma$-álgebra de Lebesgue medibles subconjuntos de la recta real.) Desde $R$ claramente contiene a$(0,0)$$(1,1)$, que contiene el segmento que los une. Por lo tanto para cada una de las $r\in(0,1)$ el punto de $(r,r)$ es un elemento de $R$, y de modo que existe $E\in{\mathcal L}$$\int_E f=\int_E g = r$.