Evaluar $$\lim_{n \to \infty} \sum_{j=0}^{n}{{j+n-1} \choose j}\frac{1}{2^{j+n}}$$
No entiendo por dónde empezar. Por favor, ayudar.
Respuesta
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Como un tipo de notas, la suma tiene un probabilística de la interpretación. Supongamos que usted lanza una moneda hasta que usted tiene cualquiera de las $n$ cabezas o $n$ colas. La probabilidad de que usted necesita $j+n$ arroja un total de $2{j+n-1\choose j}(1/2)^{j+n}$ $0\leq j\leq n-1$ . El factor de $2$ en la parte delantera viene de los dos casos, si la serie termina con un jefe o una cola.
Dado que las probabilidades
uno, tenemos
$$2\sum_{j=0}^{n-1} {j+n-1\choose j}\left({1\over2}\right)^{j+n}=1,$$
y así
$$\sum_{j=0}^{n-1} {j+n-1\choose j}\left({1\over2}\right)^{j+n}={1\over2}.$$
La suma de los considerados por el OP tiene un término adicional que va a cero. Así que como $n\to\infty$, $$\sum_{j=0}^{n}{{j+n-1} \choose j}\frac{1}{2^{j+n}}={1\over2}+{2n-1\choose n-1}{1\over 2^{2n}}\to{1\over2}.$$
Añadido: El plazo adicional tiene la representación de los productos $${2n-1\choose n-1}{1\over 2^{2n}}={1\over2}\prod_{j=1}^n \left(1-{1\over 2j}\right).$$ El uso de la primaria argumentos de mi respuesta aquí tenemos el límite superior $${2n-1\choose n-1}{1\over 2^{2n}}\leq{3\over 8\sqrt{n+1}},$$ lo que demuestra que el plazo adicional va a cero. Por supuesto, hay otras maneras de hacer esto.
Ver a esta pregunta así.
