Cómo probar que si $G$ es un grupo con un subgrupo $H$ del índice $n$ Entonces $G$ tiene un subgrupo normal $K \subset H$ cuyo índice en $G$ divide $n!$

Question

Estaría muy agradecido si alguien me diera una pista para probar la próxima declaración:

Si $G$ es un grupo con un subgrupo $H$ de índice finito $n$ Entonces $G$ tiene un subgrupo normal $K$ contenida en $H$ cuyo índice en $G$ es finito y se divide $n!$ .

Encontré la prueba en esta página: La página de Wikipedia en el índice de un subgrupo pero me pierdo en la parte que prueba que los conjuntos $A$ y $B$ tienen la misma cardinalidad.

¡Gracias!

Answer 1

La prueba es muy simple. Deje que $X$ ser el conjunto de los cosets izquierdos de $H$ . Considere $ \phi : G \to \text {Sym}(X)$ dado por $ \phi (x)(aH)=(xa)H$ . Luego $ \phi $ es un homomorfismo. Considere ahora $K= \ker \phi $ . Luego $K$ es un subgrupo normal de $G$ contenida en $H$ . Por último, $G/K$ es isomorfo a un subgrupo de $ \text {Sym}(X)$ que tiene el orden $n!$ donde $n=[G:H]$ . Así, $[G:K]$ es finito y se divide $n!$ .

Answer 2

Deje que $G$ ser un grupo generado finamente.

Un resultado alternativo es el siguiente:

Thm: Existe un subgrupo característico de índice $(n!)^{2n}$ en $G$ .

Un subgrupo característico es el que está fijado (no necesariamente de forma puntual) por todos los automorfismos de $G$ .

En primer lugar, observe que hay sólo $(n!)^n$ muchos subgrupos de índice $n< \infty $ en tu grupo. Una prueba de esto puede ser encontrada aquí y es algo similar a la respuesta de lhf (¡Estoy seguro de que este límite es mucho más estricto!).

Entonces, si se intersectan dos grupos de índice finito, $H$ y $K$ digamos que obtienes otro grupo de índice finito, $H \cap K$ y $|G:H \cap K| \leq |G:H| \cdot |G:K|$ . Para ver esto, dejemos $L=H \cap K$ y dejar $a \in Lb$ donde $Lb$ es uno de sus cosets finitos. Entonces $ab^{-1} \in L \Rightarrow a \in Hb \cap Kb \Rightarrow Lb \leq Hb \cap Kb$ . Claramente $Lb \leq Hb \cap Kb$ así que $Hb \cap Lb=Db$ . Así, el número de cosetas de $L$ es $ \leq |G:H| \cdot |G:K|$ como se requiere.

Así que la intersección de todos los subgrupos de un índice fijo $n$ le dará un subgrupo de orden $(n!)^{2n}$ (por lo tanto, ligeramente más débil). Además, este subgrupo es característico. Es característico porque los automorfismos fijan el índice de los subgrupos. Es decir, si $ \phi $ es un automorfismo de $G$ entonces $|G:H|=|G:H \phi |$ . Así que.., $ \cap (H_i \phi )= \cap H_i$ así que tu grupo está fijado por todos los automorfismos.

Aplicación:

La siguiente aplicación de lo anterior es un teorema de Gilbert Baumslag de 1963. Es bastante inusual, ya que es sorprendente (la finitud residual suele ser muy difícil de probar), y tiene una prueba muy corta (el papel es de una página y media de largo, y contiene tres aplicaciones de este resultado. La media página es toda una referencia).

Thm: Si $G$ es un grupo residual finamente generado, entonces $ \operatorname {Aut}(G)$ es residualmente finito.

Un grupo es residualmente finito si para cualquier elemento $g \in G$ existe un homomorfismo en un grupo finito $F$ , $ \phi : G \rightarrow F$ digamos, de tal manera que $g \phi\neq 1$ . Esta es una condición de finitud muy fuerte. Equivalentemente, todos los subgrupos de índice finito se intersectan trivialmente (hemos demostrado anteriormente que finitamente muchos se intersectan con el índice finito, pero hay infinitamente muchos en general, así que esto tiene sentido).

Prueba: Deje $1 \neq \alpha\in \operatorname {Aut(G)}$ . Entonces existe $g \in G$ de tal manera que $g \alpha\neq g$ y escribir $h=(g \alpha )g^{-1} ( \neq 1)$ . Como los subgrupos de índice finito se intersectan de manera no trivial, hay un subgrupo de índice finito de $G$ que no contiene $h$ , $K$ decir. Se puede considerar que esto es característico, al intersecar todos los subgrupos de ese índice, como arriba (si $h \not\in A$ entonces $h \not\in A \cap B$ lo que sea $B$ es). Ahora, $ \operatorname {Aut(G)}$ induce un grupo finito ( $A \cong \operatorname {Aut(G)}/L$ ) del automorfismo de $G/K$ como $G/K$ si es finito y $K$ es característico. Como $h \not\in K$ tenemos que $ \alpha $ induce un automorfismo no trivial de $G/K$ así que $ \alpha\not\in L$ y así $ \operatorname {Aut(G)}$ es residualmente finito, como se requiere.

Grossman extendió este resultado a $ \operatorname {Out}(G)$ ("Sobre la finitud residual de ciertos grupos de clases cartográficas", 1974).