Error Conceptual en Kosinski del "Diferencial de Colectores"?

Question

Esto parece un flagrante error en dicho de otra manera sólida libro que sentí que debía preguntar si alguien lo ha notado para estar seguro de que no estoy malentendido algo básico.

En su sección sobre conectar sumas, Kosinski no parecen reconocer que, en el caso de que los colectores en cuestión no admitir la orientación revertir diffeomorphisms, la topología (de hecho homotopy tipo) de una conectarse suma de dos liso colectores puede depender de la particular, la identificación de las esferas utilizadas para conectar los colectores.

Su definición de conectar suma es la siguiente. Para incrustaciones $h_i: \mathbb{R}^m \rightarrow M_i, i=1,2$ (si el $M_i$ están orientados, elija $h_1$ a ser la orientación de la preservación y $h_2$ orientación invertir) y la orientación revertir diffeomorphism $\alpha : (0, \infty) \rightarrow (0,\infty)$, definir $\alpha_m : \mathbb{R}^m-0 \rightarrow \mathbb{R}^m-0 , v \mapsto \alpha (|v|) v/|v|$ (I. e. realice $\alpha$ a lo largo de líneas radiales). A continuación, el formulario de $M_1 \# M_2$, pegando a lo largo del mapa $h_2 \alpha_m h_1^{-1}$.

Su teorema 1.1 en la página 90 lee

"$M_1 \# M_2$ es un buen colector, conectado si $m>1$ y orientado tanto si $M_i$ están orientados. No depende - hasta diffeomorphism - en la elección de $\alpha$ y las incrustaciones $h_i$."

El error en la prueba parece venir en la parte inferior de la página 91 cuando afirma: "si $h'$ $h_1$ tanto incrustar $\mathbb{R}^m$ como una adecuada tubular vecindad de un punto de $p$$M_1$, entonces hay una diffeomorphism $g: M_1 \rightarrow M_1$ tal que $gh_1 = h'$."

Claramente si $h'$ $h_1$ está en desacuerdo en la orientación a $g$ sólo puede existir si $M_1$ admite una orientación revertir diffeomorphism.

Más tarde en la página 95 afirma en el Teorema 2.2, "El conjunto de conectado orientado y cerrado m-dimensional de los colectores es, en virtud de la operación de conexión de la suma, asociativa y conmutativa monoid con identidad [...] por supuesto, 2.2 mantiene sin asumir los colectores están orientadas"

Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Creo que no hay ninguna dificultad conceptual en el aquí. Para su definición de conexión de la suma tenemos:

1. Dos colectores $M_{1},M_{2}$ con la misma dimensión en el encolado irregular;
2. Dos de incrustación $h_{1},h_{2}$ desde el espacio Euclídeo de a $M_{1},M_{2}$;

3. Una orientación revertir differeomorphism de la línea real que se utiliza para inducir una orientación revertir differeomorphism del espacio Euclidiano menos un punto;

4. Una resultante del colector generado por encolado $M_{1},M_{2}$ a lo largo de la incrustación de objetos en el espacio Euclidiano (o esfera).

La objeción se planteó que $h_{1}$ o $h_{2}$ es único bien definido hasta la orientación de la base del colector no está realmente justificado. Por supuesto, si ambos espacios están orientados ya, entonces la orientación de $h_{1}$ $h_{2}$ son pre-determinado. Por lo tanto, dos diferentes $h_{2}$'s, por ejemplo, no debe dar lugar a una orientación revertir differeomorphism reclamó. Es evidente que esta definición fue propuesta con objetos como $\mathbb{C}\mathbb{P}^{2}$ a la mente.

No estoy de acuerdo que Kosinski del libro es sólido, aunque. Hay numerosos difícil de las pruebas y los diversos errores encontrados por nuestros topología de grupo en el último semestre (que utiliza este para entender $h$-corbordism teorema). Así que si usted se siente muy confundido usted debe consultar otras fuentes o incluso el original de papel en algunos de los temas.