Producto tensorial de álgebras graduadas

Question

Por qué el producto tensorial de álgebras graduadas se define con una conmutación $\epsilon $ así : $(a\otimes b)(c\otimes d)= \epsilon(ac\otimes bd)$ ? cuál es la utilidad del conmutador $\epsilon$ por qué ese producto tensorial no se define simplemente por $(a\otimes b)(c\otimes d)= (ac\otimes bd)$ ?

Answer 1

El uso del $\epsilon$ aquí puede ser heredar la estructura de $A$ y $B$ : Si $A$ y $B$ son, por ejemplo, álgebras anticonmutativas graduadas, y se desea $A \otimes_R B$ sea también anticonmutativa graduada, $(a \otimes b)(c \otimes d) = (ac \otimes bd)$ no servirá: Digamos por ejemplo $a \in A_0$ , $c \in A_1$ , $b \in B_1$ , $d \in B_0$ . El usted tiene $ac = ca$ , $bd = db$ y por lo tanto \[ (a \otimes b)(c \otimes d) = (ac \otimes bd) = (ca \otimes db) = (c \otimes d)(a \otimes b) \] Pero si queremos $A \otimes B$ para ser anticonmutativo graduado, necesitamos un $-$ aquí, como $a \otimes b$ , $c \otimes d \in (A\otimes B)_1$ .

Si en su lugar definimos \[ (a \otimes c)(b \otimes d) = (-1)^{\deg b\deg c} (ab \otimes cd) \] para homogéneas $b$ y $c$ el ejemplo anterior con $\deg a = \deg d = 0$ , $\deg b = \deg c = 1$ da \[ (a \otimes b)(c \otimes d) = (-1)^{1 \otimes 1}(ac \otimes bd) = -(ca \otimes db) = -(-1)^{0\times 0}(c \otimes d)(a \otimes b) = -(c\otimes d)(a \otimes b) \] como se desea.