Reducción de los anillos y el tensor de productos

Question

Asumo todos los anillos son conmutativo con identidad. Denotar $A':=A/ \sqrt{0}$ por conveniencia.

La pregunta es simple:

Para un determinado anillo de $R$ $R$- álgebras $A,B$, ¿ este isomorfismo $(A\otimes_R B)'\cong (A'\otimes_R B')'$?

Con específicos (fácil) ejemplos, parece ser cierto. ¿Cómo puedo muestran que, en general?

• Esta pregunta surge a partir de la igualdad $(X_{\text{red}}\times_S Y_{\text{red}})_{\text{red}}\cong (X\times_S Y)_{\text{red}}$ donde $X,Y$ $S-$esquemas. En la prueba, el autor dice que la igualdad proviene de la inducida por el mapa de $X_{\text{red}}\times_S Y_{\text{red}}\to X\times_S Y$ por el canónica mapas de $X_{\text{red}}\to X$$Y_{\text{red}}\to Y$. Pero no puedo entender cómo se puede obtener el isomorfismo sólo a partir de la inducida por el mapa.

Answer 1

Esto puede ser demostrado mediante la siguiente característica universal de $A'$: si $f \colon A \to S$ cualquier $R$-álgebra homomorphism donde $S$ es reducido, a continuación, $f$ factores de forma única como $f = g \circ p$ donde $p \colon A \to A/\sqrt{0} = A'$ es la canónica homomorphism. O más brevemente: cualquier $R$-álgebra homomorphism de $A$ a una reducción de la $R$-álgebra factores de forma exclusiva a través de $A'$. (Voy a dejar de trabajar en esto, pero siéntase libre de preguntar en los comentarios si usted necesita algunos consejos.)

La caracterización de $A'$ por encima de hace único hasta un único isomorfismo: Si $T$ es cualquier otro álgebra con un homomorphism $q \colon A \to T$ la satisfacción de los mismos universal de los bienes (con $p$ reemplazado por $q$), $T \cong A'$ (a través de un único isomorfismo que respete $p$$q$).

Por lo tanto, para demostrar que $(A \otimes_R B)' \cong (A' \otimes_R B')'$, es suficiente para demostrar que $(A' \otimes_R B')'$ equipada con la canónica homomorphism $q \colon A \otimes_R B \to A' \otimes_R B' \to (A' \otimes_R B')'$ satisface la misma característica universal como $(A \otimes_R B)'$.

Así que vamos a $S$ ser una reducción de anillo con un álgebra de homomorphism $f \colon A \otimes_R B \to S$. La canónica homomorphisms $A,B \to A \otimes_R B$ inducir $A,B \to A \otimes_R B \to S$. Desde $S$ es reducido, estos deben factor de forma exclusiva a través de$A'$$B'$. Esto induce a $A' \otimes_R B' \to S$. Pero, de nuevo, como el último de álgebra se reduce (y el anterior no puede ser), estos factores de forma exclusiva a través de $g \colon (A' \otimes_R B')' \to S$. Ahora es una pequeña tarea para comprobar que esto proporciona una única factorización $f = gq$.