Estoy buscando en el Ejercicio 5.2 (página 44) en "Análisis Real para los Estudiantes de Posgrado" de Richard Bass.
Deje $f:(0, 1)\to \mathbb{R}$ ser una función tal que para cada a $x\in (0, 1)$, existen $r>0$ y un Borel medible función de $g$, tanto en función en $x$, de tal manera que $f$ $g$ está de acuerdo en $(x-r, x+r)\cap (0, 1)$. Probar que $f$ es Borel medible.
El intento. Para cada una de las $x\in (0, 1)$, vamos a denotar $r_{x}$ $g_{x}$ a las cantidades que figuran en la declaración del problema. Eligiendo $r_x$ suficientemente pequeño, se puede asumir que el $(x-r_{x}, x+r_{x})\subseteq (0, 1)$. A continuación, para $a\in\mathbb{R}$, tenemos $$ f^{-1}((a, \infty))=\{y: f(y)>a\}=\bigcup_{x\in (0, 1)} \{y: g_{x}(y)>a\}\cap (x-r_{x}, x+r_{x}) $$ Desde $g_{x}$ es Borel medible, sabemos que $\{y: g_{x}(y)>a\}\cap (x-r_{x}, x+r_{x})$ es un conjunto de Borel. Pero la unión de arriba es incontable; entonces, ¿cómo podemos mostrar que $f^{-1}((a, \infty))$ es un conjunto de Borel?
Intento 2. Desde $\mathbb{Q}$ es contable y denso en $(0, 1)$, podemos probar a mirar en los puntos de $x\in\mathbb{Q}\cap (0, 1)$. Pero, a continuación, los intervalos de $(x-r_{x}, x+r_{x})$ necesidad no cubierta $(0, 1)$. El ejemplo estándar es la siguiente. Supongamos $\{q_1, q_2, …\}$ es la enumeración de los racionales en $(0, 1)$, y deje $\varepsilon>0$. Si dejamos $r_{q_{j}}$$\varepsilon 2^{-j}$, entonces la medida de $\bigcup_{j=1}^{\infty} (q_j-r_{q_{j}}, q_{j}+r_{q_{j}})$ es en la mayoría de las $2\varepsilon$.
Intento 3. Si cada una de las $g_{x}$ es continua, se llevaría a cabo. En ese caso, $$\{y: g_{x}(y)>a\}\cap (x-r_{x}, x+r_{x})$$ would be an open set; so as a union of open sets, $f^{-1}((a, \infty))$ sería un conjunto abierto, y por lo tanto Borel.
