Homología del conjunto vacío

Question

Tengo la impresión de que la convención estándar para la homología (singular) del conjunto vacío es 0 en todos los grados no negativos y $\mathbb{Z}$ en grado $-1$ . No tengo ningún problema con esta convención, sólo tengo curiosidad por saber qué papel juega. La mayoría de las convenciones ayudan a que algo sensato siga siendo cierto en un caso particular, ¿qué hace esta convención?

¿Depende esta convención de la versión de cohomología que utilicemos? ¿Existe una convención diferente para la cohomología de Cech o para la que tiene?

Answer 1

He aquí una idea. El homología reducida del conjunto vacío es lo que usted describe: una $\mathbb Z$ en grado $-1$ y $0$ de lo contrario. Esto se debe a que el complejo de cadenas que calcula los grupos de homología reducidos tiene una $\mathbb Z$ en grado $-1$ cuyo papel es matar a uno $\mathbb Z$ en grado $0$ . Sin embargo, si nos fijamos en el conjunto vacío, todos los grupos de cadenas son $0$ por lo que sólo queda el extra $\mathbb Z$ en grado $-1$ . Sólo estoy adivinando.

Answer 2

Esto es lo que pienso.

Con la homología simplicial, empezamos considerando el conjunto de todos los mapas continuos de la $n$ -simplemente en nuestro espacio $X$ , $\{\sigma:\Delta^n\to X\mid\sigma\text{ continuous}\}$ . Entonces formamos cadenas de estos tomando el grupo abeliano libre $C_n:=\mathbb{Z}\{C_n(X)\}$ . Estos son los términos de nuestro complejo de cadenas junto con los mapas de límites.

Pero, ¿qué hay para $n<0$ ? Hmm... eso no parece tener sentido aquí así que supongo que digamos que $C_n(X)=0$ para $n<0$ . Pero, ¡espera! ¿Qué pasa con $n=-1$ ?

El $n$ -es el casco convexo de $n+1$ puntos (afinamente independientes) en $\mathbb{R}^{n+1}$ por lo que el $(-1)$ -es el casco convexo de 0 puntos, es decir, el conjunto vacío. Por tanto, $\Delta^{-1}=\varnothing$ . Así, $\{\sigma:\Delta^{-1}\to X\mid \sigma\text{ continuous}\}=\{\text{the empty function}\}=\{\varnothing\}$ . Entonces $C_{-1}(X)=\mathbb{Z}\{\{\varnothing\}\}\cong \mathbb{Z}$ .

Aquí es donde el extra $\mathbb{Z}$ en dimensión $-1$ realmente proviene de la homología reducida. Sin embargo, para $n<-1$ la definición de simplex realmente no lo hace tiene sentido, así que mejor mantener esos términos de la cadena de ceros complejos.

Pobre tipo Todo el mundo se olvida siempre del conjunto vacío, y especialmente de su alias "la función vacía" :(

TLDR : La definición de un simplex significa que el conjunto vacío es un $(-1)$ simplex dimensional