Cómo mostrar que el evento de que un preso no van por libre no es medible

Question

Estaba leyendo esta página web hace un par de meses sobre el siguiente problema-

Un contable infinito número de presos que se colocan en los números naturales, que se enfrenta en la dirección positiva (es decir, todo el mundo puede ver un número infinito de presos). Los sombreros se colocará y cada prisionero se le preguntó lo que su sombrero es de color. Sin embargo, para complicar las cosas, los presos no pueden oír anteriores conjeturas o si estaban en lo correcto. En esta nueva situación, ¿cuál es la mejor estrategia?

(No voy a vincular la mejor estrategia en caso de que alguien quiere darle una oportunidad, pero tenga en cuenta que mi pregunta es acerca de la solución)

y recuerdo que mi amigo y yo estábamos tratando de llegar con un argumento formal de por qué la probabilidad está mal definida. Seguimos yendo en círculos por lo que lo dejamos en el final.

Aunque recientemente me topé con la página y veo Terrence Tao del comentario, donde he copiado el párrafo pertinente,

Si tenemos un número infinito de los presos, con los sombreros asignados al azar (por lo tanto, estamos trabajando en el espacio de Bernoulli ${\Bbb Z}_2^{\Bbb N}$), y uno de ellos utiliza la estrategia que viene desde el axioma de elección, entonces el evento a $E_j$ que $j^{th}$ prisionero no van por libre no es medible, pero oficialmente tiene probabilidad 1/2, en el sentido de que $E_j$ y su traducir $E_j + e_j$ partición ${\Bbb Z}_2^{\Bbb N}$ donde $e_j$ $j^{th}$ base elemento, o en el más prosaico de idioma, si $j^{th}$ prisionero del sombrero se pone de conmutación, este voltea si el prisionero llega a ir gratis o no. La "paradoja" es el hecho de que mientras que el $E_j$ todos parecen tener probabilidad 1/2, cada elemento del espacio de eventos se encuentra en sólo un número finito de la $E_j$. Esto puede considerarse como una violación del teorema de Fubini – si el $E_j$ son mensurables todos. Por supuesto, el $E_j$ no son medibles, y así la intuición sobre la probabilidad no debe ser de confianza aquí.

Se siente como concluye la no medición de la $E_j$ a partir de una violación de Fubini, pero yo no lo veo. Puede alguien carne este argumento para mí? Ha estado molestando desde hace mucho tiempo y yo estaría muy agradecido :)

Answer 1

El problema, por lo que puedo ver, es con esta frase

La "paradoja" es el hecho de que mientras que el $E_j$ todos parecen tener probabilidad 1/2, cada elemento del espacio de eventos se encuentra en sólo un número finito de la $E_j$. Esto puede considerarse como una violación del teorema de Fubini – si el $E_j$ son mensurables todos.

Yo no lo entiendo tampoco. Decir, denotamos por a $n(\omega)$ el número de conjuntos de donde $\omega$ pertenece. Luego, por la doble contabilización (= Fubini), $$\mathsf E[n(\omega)] = \sum_{j\ge 1} \mathsf P(E_j) = +\infty.$$ However, this in no way contradicts the finiteness of $n(\omega)$.

Así que me atrevo a dudar (esta parte) de Terence Tao del argumento, y daré mi propia, la adición de más detalles acerca de los objetos involucrados.

Tenemos $\Omega = \{0,1\}^{\mathbb N} = \{\omega = (\omega_1,\omega_2,\dots)\mid \forall\, i\ge 1\ \omega_{i}\in\{0,1\}\}$. El $\sigma$-álgebra $\mathcal F$ de los eventos generados por cilíndrico conjuntos de $C_{a_1,a_2,\dots,a_N} = \{\omega\mid \omega_i = a_i,i=1,\dots,N\}$, y la probabilidad de $\mathsf P$ se obtiene como la extensión de $\mathsf P(C_{a_1,\dots,a_N}) = 2^{-N}$.

Definir el mover de un tirón los operadores: $$ T_i\omega = (\omega_1,\dots,\omega_{i-1},1-\omega_i,\omega_{i+1}, \omega_ {+2},\dots).$$ Obviamente, para preservar la probabilidad de $\mathsf P$.

Supongamos ahora que todos los acontecimientos de la $E_j = \{j\text{th prisoner escapes}\}$$\mathcal F$. Es obvio que $T_j E_j = \Omega\setminus E_j$, lo $\mathsf P(E_j) = 1/2$ $T_j$ $P$- preservación. Así, por Fatou del lema, $$ \mathsf P(\text{todos, pero en un número limitado de fuga de presos}) = \mathsf P(\liminf_{j\to\infty} E_j)\le \liminf_{j\to\infty} \mathsf P(E_j) = 1/2.\la etiqueta{1} $$ Sin embargo, el evento de $E:= \{\text{all but finite number of prisoners escape}\} = \liminf_{j\to\infty} E_j$ es una cola de eventos, es decir, no depende de ningún número finito de $\omega_j$'s¹. Desde $\omega_j$'s son independientes, la prueba de Kolmogorov del 0-1 de la ley implica que $\mathsf P(E) \in\{0,1\}$. En consecuencia, $\mathsf P(E)=0$, contradiciendo el seguro de escapar.

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¹ Aquí uso que el $j$th preso solo ve sombreros en frente de él y no oír lo que está pasando detrás de él. Sin embargo, (1) es válida (gracias a PhoemueX para señalar esto), aun en el caso de que el $j$th prisionero sabe todo, excepto a su propio sombrero.