Notación de la derivada segunda - ¿adónde va el d?

Question

En la escuela me enseñaron que usamos $\frac{du}{dx}$ como una notación para la derivada primera de una función $u(x)$. También me dijeron que podíamos usar el $d$ al igual que cualquier variable.

Después de algún tiempo nos dieron la notación para la derivada segunda y se explicó de la siguiente manera:

$$ \frac{d(\frac{du}{dx})}{dx} = \frac{d^2 u}{dx^2} $$

Lo que no entiendo es que aquí, si podemos utilizar los $d$ como cualquier variable, me gustaría obtener el siguiente resultado:

$$ \frac{d(\frac{du}{dx})}{dx} =\frac{ddu}{dxdx} = \frac{d^2 u}{d^2 x^2} $$

Al parecer no es la misma como la notación que nos fue dado. $D$ es la que falta.

He hecho algunas investigaciones sobre esto y encontré algunos vagos comentarios acerca de que "Hay razones para eso, pero usted no necesita saber..." o "Que es principalmente una notación problema, pero usted no necesita saber más."

Así que lo que estoy pidiendo es: ¿Es esto realmente sólo una notación cosa? Si es así, ¿significa esto que podemos, de hecho, NO uso d como una variable? Si no, ¿de dónde los $d$ ir?

He encontrado esta relacionada con la pregunta, pero en realidad no contestar a mi pregunta específica. Así que yo no lo vea como un duplicado, pero me corrija si mi búsqueda no ha sido suficiente y no es de hecho una pregunta similar, por ahí ya.

Answer 1

¿Adónde va el $ $d?

Físico en. Todas las respuestas parecen centrarse en si $d$ es una variable y son dejar de lado el corazón de su pregunta.

Sencillamente, $dx$ es el nombre de una cosa, en tu ejemplo

$$ \frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} = \frac {d ^ 2u} {\left (dx\right) ^ 2} $

En sus palabras, el "segundo $d$" está dentro de los paréntesis implícitos.

Answer 2

Gottfried Wilhelm Leibniz, quien introdujo esta notación en el siglo 17, la intención de $dx$ a ser un infinitamente pequeño cambio en $x$ y $du$ a ser la correspondiente infinitamente pequeño cambio en $u$, de modo que si, por ejemplo, $du/dx=3$ en un punto en particular que significa $u$ es el cambio de $3$ veces tan rápido como $x$ es cambiar en ese momento.

La notación $\dfrac{d^2u}{dx^2}$ en realidad $\dfrac{d\left(\dfrac{du}{dx}\right)}{dx}$, el infinitamente pequeño cambio en $du/dx$ dividido por el correspondiente infinitamente pequeño cambio en $x$. Por lo tanto la derivada segunda es la tasa de cambio de la tasa de cambio.

Observe que si $u$ es en metros y $x$ en cuestión de segundos, luego $du/dx$ en $\dfrac{\text{m}}{\text{sec}}$, es decir, metros por segundo, y $d^2 u/dx^2$ es $\dfrac{\text{m}}{\text{sec}^2}$, es decir, metros por segundo por segundo. Mus $dx^2$ $(dx)^2$, por lo que las unidades de medición de $x$ se al cuadrado, y $d^2y$ está en las mismas unidades de medida que $y$ es, de manera consistente con el hecho de que $y$ no es una parte de lo que obtiene el cuadrado en el numerador.

Answer 3

$d$ no es una variable, y tampoco es de $dx$ para esa materia.

Es confuso, porque en algún caso, como el de la regla de la cadena, los diferenciales de actuar como variables que pueden cancelar:

$$\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}$$

Sin embargo, es más apropiado pensar de $\frac{d}{dx}$ como un operador que hace algo.

Por lo tanto, $\frac{d}{dx}(\frac{d}{dx} y)=\frac{d^2}{dx^2}$y.

De un modo bastante similar, usted no podría decir que $\sin^2 x=s^2i^2n^2x$

Edit: En caso de que no esté en el ejemplo, no se puede separar de $dx$. Es decir, $dx$ no $d$ veces $x$. Esto es muy análoga a la química cuando decimos cosas como $\Delta H$. Esto no es $\Delta$ veces $H$. Es $\Delta$ (cambio) de $H$.

Answer 4

${\rm d}(A)$ significa un infinitesimalmente pequeño cambio en $Un$. El ${\rm d}$ es un operador y lo mejor es que lo vean como una función y no un valor.

Si cualquier cosa que soltar el paréntesis de ${\rm d}x$ en aras de la brevedad como debería ser de ${\rm d}(x)$ $$\frac{{\rm d}(y)}{{\rm d}(x)}$$ y $$\frac{{\rm d}(\frac{{\rm d}(y)}{{\rm d}(x)})}{{\rm d}(x)} = \frac{ \frac{1}{{\rm d}(x)} {\rm d}({\rm d}(y))}{{\rm d}(x)} = \frac{{\rm d}({\rm d}(y))}{({\rm d}(x))^2} = \frac{{\rm d}^2(y)}{({\rm d}x)^2} = \frac{{\rm d}^2 y}{{\rm d}x^2}$$

Answer 5

Piensa en el significado de $d/dx$. El $d$ en el numerador es un operador: dice, "tomar la minúscula diferencia de lo que sigue $d/dx$". En contraste, los $dx$ en el denominador es un número (sí, lo sé; los matemáticos, por favor, no se encoge): es la minúscula diferencia en $x$.

Por lo que $d/dx$ significa "tomar la minúscula diferencia de lo que sigue, y luego se divide por la cantidad de $dx$."

Del mismo modo, $d^2/dx^2$ significa "tomar la minúscula diferencia de lo infinitesimal diferencia de lo que sigue, y luego se divide por el cuadrado de la cantidad de $dx$."

En resumen, los $d$ en el numerador es un operador, mientras que en el denominador, es parte de un símbolo. Un poco menos ambigua de notación, como se sugiere por user1717828, sería poner el $(dx)$ en el denominador entre paréntesis, pero realmente no es necesario en la práctica.