Ningún lugar real continua con valores de la función que tiene una antiderivada

Question

Mi pregunta:

Hay una función de $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que en ninguna parte continua en su dominio, pero tiene una antiderivada?

Si no hay tal función, es fiel a la conclusión de que: para tener una antiderivada, $f$ es necesario ser continuo al menos en un punto de su dominio?

Cualquier comentario/ entradas son muy apreciados. Gracias de antemano.

Answer 1

No hay tal función.

De hecho, por una aplicación de Baire teorema se puede demostrar que, dada una secuencia de funciones continuas $f_n:\mathbb R \to \mathbb R$, que converge pointwise, es decir, $f_n(x)\to f(x)$ por cada $x\in \mathbb R$, el conjunto de puntos donde $f$ es continua es un denso $G_\delta$-set.

Se aplica a su situación, se puede considerar que la secuencia de $$f_n(x) = \frac{f(x+1/n) - f(x)}{1/n}$$ All of these functions are continuous and converge pointwise to $f'(x)$. So $f'(x)$ must be continuous on a dense $G_\delta$-set.

Así que usted está bien con su segunda declaración: Para una función de $g$ a ser la derivada de alguna otra función, $g$ necesariamente tiene que tener al menos un punto de continuidad.

Answer 2

Si usted quiere que su antiderivada a ser diferenciable en todas partes, esto es imposible, ya que la derivada de una función derivable $F: \mathbb R \to \mathbb R$ puede ser realizado como un pointwise límite de funciones continuas (utilice el "$\lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}h$"-definición de la diferenciabilidad para la construcción de una adecuada secuencia), y la pointwise límite de una sucesión de funciones continuas de $\mathbb R$ $\mathbb R$debe ser continua en un comeagre establecido por la Baire-Osgood teorema.