$|G|=p^3$. Demostrar que $\phi(x)=x^p$ es un homomorphism

Question

Deje $p$ ser impar el primer y $G$ un grupo de orden $p^3$. Demostrar que el $p$-th mapa de poder $x \mapsto x^p$ es un homomorphism $G \rightarrow G$.

El abelian caso es fácil. Supongamos $G$ no es abelian grupo. Si $x \in G$ o $y \in G$ orden $p$,$\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$. Por lo tanto, podemos asumir que $x,y$ están en orden de $p^2$.

Eso es lo que hice. No tengo ningún tipo de herramientas. Necesito de su ayuda.

Answer 1

Sugerencia: Si $G$ no es abelian, $|Z(G)|=p$. A continuación, observe que $xy=yxh$ algunos $h \in Z(G)$. Por lo tanto, se puede escribir $(xy)^p=x^py^p h^q$ para algunos entero $q$; resulta que $q$ es divisible por $p$, por lo tanto $h^q=1$.