Fermiones gauge versus bosones gauge

Question

Por qué todas las interacciones son partículas de una teoría gauge. ¿Están los campos de partículas gauge fermiónicas de alguna manera prohibidos por la teoría?

Answer 1

La razón por la que la partícula gauge debe ser un bosón gauge de espín 1 es porque no hay alternativas renormalizables. Para ver esto considera el Lagrangiano de Dirac:

\begin{equation} \bar{\psi} i \gamma ^\mu \partial _\mu \psi \end{equation} Este término no es invariante gauge bajo la transformación, $ \psi \rightarrow e ^{ i T ^a \theta ^a (x) } \psi $ debido a la derivada estropea la transformación deseada de $ \partial _\mu \psi $ . Para solucionar esto debemos añadir una contribución que se transforme de la misma manera que la derivada, es decir, que se transforme como un vector. En otras palabras, modificamos la derivada de forma que \begin{equation} D _\mu \psi \rightarrow e ^{ i T _a \theta _a (x) } D _\mu \psi \end{equation}

La cuestión es qué añadir a $ D _\mu $ . Podemos añadir potencialmente el giro $ 0, \frac{1}{2} , 1 , \frac{3}{2} , $ y $ 2 $ partículas para arreglar esto. Vamos caso por caso.

No hay ninguna combinación de campos de espín cero que se transforme como un vector sin añadir derivadas (añadir derivadas para fijar la covarianza de las derivadas te llevaría a dar vueltas), por lo que no podemos tener un bosón gauge de espín cero.

A continuación, considere la posibilidad de añadir un giro $ 1/2 $ bosón gauge podríamos escribir ( $ \psi _a $ es una partícula gauge, no $ \psi $ ), \begin{equation} D _\mu = \partial _\mu + \sum _a T ^a \left( g\bar{\psi} ^a \gamma _\mu \psi ^a + g ' \bar{\psi} ^a \gamma _\mu \gamma ^5 \psi ^a \right) \end{equation} Sin embargo, esto daría una interacción \begin{equation} \sum _a i\left[ \bar{\psi} \gamma ^\mu\psi \right] \left[ \bar{\psi} _a \gamma _\mu \psi _a \right] \end{equation} y de forma similar para el $ \gamma ^5 $ término. Estas interacciones no son renormalizables ya que involucran cuatro fermiones. Las interacciones no normalizables surgen de las teorías de campo efectivo y son suprimidas por la escala a la que surgen. Esto haría que las interacciones gauge no fueran fundamentales, sino que implicaran una partícula vectorial masiva integrada. Para que la interacción integrada sea renormalizable debe ser entre dos fermiones y un espín $1$ campo. Esto nos lleva al caso habitual.

El giro $1$ campo funciona bien y existe en el SM. No estoy seguro del giro $ 3/2 $ ya que no tengo experiencia en trabajar con este tipo de campos, sin embargo, supongo que no funcionará por razones similares. También sé que el giro $2$ Los campos gravitacionales deben mediar en los campos gravitacionales y, por tanto, darían un resultado no comprensible.

Answer 2

Una respuesta más intuitiva que no implica la (no) renormalizabilidad:

Cualquier teoría gauge acopla las partículas entre sí. Alguna partícula con algún espín que se acople a la teoría gauge (tomemos, por ejemplo, un espín- $1/2$ partícula) debe acoplarse a sí misma mediante un operador de identidad, que es el generador de singletes incluido por definición en toda teoría de grupos. El operador de identidad no cambia ninguna propiedad de la partícula, ya que es básicamente un operador de "no hacer nada", sin ningún significado físico. Este operador no cambia el espín, es decir $\Delta m=0=m_{s}$ en todo momento, y por lo tanto debe tener un giro entero. No excluimos $m_s= \pm 1,\pm 2,...,$ sólo afirmamos que el operador de identidad con $m_s=0$ debe existir. Como todos los elementos de una teoría de grupos deben tener el mismo espín, una teoría gauge no puede contener partículas gauge de espín medio entero (generadores).

En esta explicación sólo he hablado de si la partícula gauge puede o no tener un espín medio entero, no de si pueden ser bosones o fermiones. Lo hice a propósito, ya que no hay ninguna razón matemática para que los generadores tengan estadísticas bosónicas. En algunas teorías BSM (más allá del Modelo Estándar), de hecho, existen vectores fermiónicos (spin- $1$ ). Estos fermiones vectoriales podrían ser las partículas gauge de alguna nueva teoría gauge que aún no conocemos.

Hay que hacer algunas matizaciones al razonamiento expuesto:

-Si la conservación del espín no es exacta, el razonamiento no es válido. Podría haber alguna física más allá del modelo estándar que no conserve el momento angular, dando lugar a fenómenos exóticos.

-La teoría gauge SUSY (súper simétrica) podría proporcionar una salida considerando alguna transformación SUSY que elimine el problema del espín (gauge Wess-Zumino).

Espero que esto ayude.