Efecto de la retirada de formas diferenciales en un ideal

Question

Decir que el exterior del sistema diferencial (EDS) correspondiente a un PDE sistema es:

$$df-f_x\,dx-f_y\,dy-f_w\,dw-f_z\,dz=0,\\ a_1\,f_x+a_2\,f_y=0,\etiqueta{sys}$$

Por supuesto que también requieren de la independencia de la condición, $dx\wedge dy\wedge dw\wedge dz\neq 0$.

1. En lugar de (sys) puedo simplemente usar el siguiente? $$ df +\dfrac{a_2}{a_1}f_y\,dx-f_y\,dy-f_w\,dw-f_z\,dz=0 \tag{sys$^\prime$}$$
2. Supongo que lo que estoy preguntando sobre si es el ideal generado por $$\theta=df +\dfrac{a_2}{a_1}f_y\,dx-f_y\,dy-f_w\,dw-f_z\,dz$$ coincides with the pull-back of the ideal generated by the contact form ($es decir,$ el lado izquierdo de la primera línea en sys) para el colector en jet espacio dado por la segunda línea de sys?

Creo que la respuesta es que sí, porque el pullback a la multiplicidad en jet espacio definido por $a_1\,f_x+a_2\,f_y=0$ viajes al exterior de productos y con el exterior de derivados, por lo que el ideal generado por a $\mathrm{sys^\prime}$ coincide con el retroceso de los ideales generados por $\mathrm{sys}$, pero no 100% seguro.

Lo siento si todo esto obvio, pero yo no soy un matemático. Además de Bryant et. al. Estoy usando "Cartan para Principiantes" y "Mentira del Enfoque Estructural de la PDE Sistemas". Agradecería cualquier otras referencias útiles.

Answer 1

Como usted sospecha que la respuesta es sí, y que, básicamente, explicar por qué es así. Si usted no está convencido de que usted podría agregar los siguientes datos: su PDE $a_1 f_x + a_2 f_y=0$ es de primer orden con la variable $f$ la variable dependiente, mientras que $x,y,w,z$ son las variables independientes. Estándar de coordenadas en el primer jet espacio se $x,y,w,z,f,f_x,f_y,f_w,f_z$, mientras que el formulario de contacto es lo que dicen que es. Lo que están haciendo, básicamente, es la restricción de las coordenadas $x,y,w,z,f,f_y,f_w,f_z$ (sin $f_x$) a la submanifold determinado por el PDE y el uso de estos como coordenadas en el submanifold (tal vez usted quiere comprobar que estos son de hecho válido coordenadas?). Luego de la retirada de la coordenada $f_x$ está dado por $-\frac{a_1}{a_2}f_y$ y la retirada de el formulario de contacto es lo que usted escribió, por las razones que dio :)

Edit: además de los dos buenos libros que usted menciona, me gustaría recomendar el libro "Simetrías y leyes de conservación diferencial de eqauations en la física matemática"