Demuestra que la derivada de una función diferenciable es impar, y la derivada de un impar es par.

Question

Demuestra que la derivada de una función diferenciable es impar, y la derivada de una función diferenciable es impar.

Aquí están mis trabajos hasta ahora.

Probemos que el derivado de una función diferenciable de la impar es incluso primero. Dejemos que la función impar sea $f(x)$ . Tenemos $f(-x)=-f(x)$ y $ \lim_ {x \to a^-} f(x)= \lim_ {x \to a^+}f(x)= \lim_ {x \to a}f(x)$

$$f'(-x)= \lim_ {h \to 0} \frac {f(-x+h)-f(-x)}{h}= \lim_ {h \to 0} \frac {-f(x-h)+f(x)}{h}$$

Y así, estoy atascado. Gracias de antemano. Se aprecian las indirectas. ¡Las soluciones son aún más bienvenidas!

Answer 1

Continuando con su última línea, $$ \lim_{h\to 0} -\frac {f(x-h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac {f(x-h)-f(x)}{-h}=f'(x) $$

Esto completa la prueba de $f$ una función impar.

El enfoque análogo probablemente funcionará para $f(x)$ una función uniforme.

$$ \lim_{h\to 0} \frac {f(-x+h)-f(-x)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac {f(x-h)-f(x)}{h}=-\lim_{h\to 0} \frac {f(x-h)-f(x)}{-h}=-f'(x) $$

Answer 2

Si $f(x)$ es impar entonces, $$f'(x)=\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(-f(-x))}{dx}=-\frac{d(f(-x))}{dx}=-(-f'(-x))=f'(-x)$$

Aquí, han utilizado $\frac{d(f(-x))}{dx}=-f'(-x)$ (utilizando la regla de la cadena)

Puede seguir un enfoque similar para incluso $f(x)$