Probar que:
$\displaystyle \frac{1}{e^{2\pi}-1}+\frac{2}{e^{4\pi}-1}+\frac{3}{e^{6\pi}-1}+...=\frac{1}{24}-\frac{1}{8\pi}$
Me gustaría ver diferentes maneras de resolver este hermoso suma, quien se anima? :)
Gracias a todos.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En su caso, considere la función
$$ \frac{x}{e^{2\pi x}-1} $$
que tiene la Mellin transformar
$$ \left( 2\,\pi \right) ^{-s-1}\Gamma \left( s+1 \right) \zeta \left( s+1 \right). $$
Luego sólo tienes que seguir la técnica utilizada en este similar problema.
Paramanand Singh
Puntos
13338
Este problema ya está resuelto en Suma $\frac{1}{e^{2\pi}-1} + \frac{2}{e^{4\pi}-1} + \frac{3}{e^{6\pi}-1} + \cdots \text{ad inf}$ y tiene una buena solución.
Pero entonces el más simple prueba viene de Ramanujan. Él utiliza la fórmula para la transformación de "eta" función y diferenciación logarítmica. Si definimos $\eta(q)$ por $$\eta(q) = q^{1/12}(1 - q^{2})(1 - q^{4})(1 - q^{6})\cdots$$ then we have $$\frac{\eta(e^{-\pi\sqrt{n}})}{\eta(e^{-\pi/\sqrt{n}})} = n^{-1/4}$$ or in other words $$n^{1/4}e^{-\pi\sqrt{n}/12}(1 - e^{-2\pi\sqrt{n}})(1 - e^{-4\pi\sqrt{n}})\cdots = e^{-\pi/(12\sqrt{n})}(1 - e^{-2\pi/\sqrt{n}})(1 - e^{-4\pi/\sqrt{n}})\cdots$$
Entonces, si diferenciamos la ecuación anterior de forma logarítmica con respecto a la $n$ tenemos $$n\left\{1 - 24\left(\frac{1}{e^{2\pi\sqrt{n}} - 1} + \frac{2}{e^{4\pi\sqrt{n}} - 1}+ \cdots\right)\right\} + \left\{1 - 24\left(\frac{1}{e^{2\pi/\sqrt{n}} - 1} + \frac{2}{e^{4\pi/\sqrt{n}} - 1}+ \cdots\right)\right\} = \frac{6\sqrt{n}}{\pi}$$
Poner a $n = 1$ en la ecuación anterior obtenemos $$1 - 24\left(\frac{1}{e^{2\pi} - 1} + \frac{2}{e^{4\pi} - 1} + \frac{3}{e^{6\pi} - 1}\right) = \frac{3}{\pi}$$ y por lo tanto la prueba se ha completado. El de arriba de la derivación es que vienen directamente de Ramanujan más famoso y sorprendente de papel "de congruencias y Aproximaciones a $\pi$".
