$S_6$ no puede tener un subgrupo isomorfo a $S_3\times S_4$

Question

Cómo demostrar que $S_6$ no puede tener un subgrupo isomorfo a $S_3\times S_4$ ?

Por favor, ayúdame. No tengo ni idea.

Answer 1

Demuestre que un elemento de orden tres en $ S_6 $ no puede conmutar con una de orden cuatro.

Answer 2

Altenrativamente, puedes fijarte en el orden de los elementos. ¿Cuál es el orden máximo de un elemento en $S_{6}$ ? ¿Cuál es el orden máximo de un elemento en $S_{3}\times S_{4}$ ?

SPOILER

El orden de un elemento de $S_{n}$ es el mínimo común múltiplo de los órdenes de sus ciclos disjuntos. En $S_{6}$ el mayor orden posible es $6$ - procedente de un 6-ciclo o producto de un 2-ciclo y un 3-ciclo. Del mismo modo, los mayores órdenes posibles de elementos de $S_{3}$ y $S_{4}$ son 3 y 4 respectivamente (derivados de un ciclo 3 y un ciclo 4). Por tanto, el mayor orden posible de un elemento de $S_{3}\times S_{4}$ es $3\times 4=12$ . Dado que por el trabajo anterior, ningún elemento de $S_{6}$ tiene orden 12, podemos deducir que ningún subgrupo de $S_{6}$ es isomorfo a $S_{3}\times S_{4}$ .

Answer 3

Una comprobación rápida muestra que $S_6$ no tiene elementos de orden $~12$ (considerando una decoposición de ciclos, los órdenes que se producen se obtienen como mínimo común múltiplo de las partes de una partición de $~6$ lo que da $\{1,2,3,4,5,6\}$ como conjunto de órdenes posibles). Pero $S_3\times S_4$ tiene un elemento de orden $~12$ .

Answer 4

$|S_3\times S_4|=3!.4!=6!/5=|S_6|/5$ . Podemos demostrar que $S_6$ no tiene ningún subgrupo de orden $3!4!$ (es decir, del índice $5$ ). Si $H\leq S_6$ tiene índice $5$ entonces $S_6$ actúa sobre los cinco cosets de $H$ en $S_6$ por multiplicación (izquierda/derecha, según convenga). Entonces existe un homomorfismo no trivial de $S_6$ à $S_5$ tal que la imagen tiene orden $\geq 5$ es decir, el núcleo tiene índice $\leq 5$ contradicción (¿por qué?).