Cuando decimos que dos cosas son isomorfas, estamos diciendo que son esencialmente iguales. Para convertir esto en algo con un significado riguroso debemos, por supuesto, decir qué es lo que queremos decir con "esencialmente" aquí. Diferentes interpretaciones conducirán a diferentes nociones de isomorfismo.
Por ejemplo, supongamos que nos gustan mucho los triángulos en el plano y queremos estudiar los triángulos. Rápidamente nos damos cuenta de que si tomamos un triángulo, le aplicamos una rotación y/o una traslación y/o una reflexión obtenemos otro triángulo que es diferente, ya que está situado en una zona diferente del plano, y quizás ahora está rotado, pero es muy parecido al triángulo original. Podemos entonces elija para considerar dos triángulos cualesquiera $T_1,T_2$ tal que $T_1$ puede obtenerse en $T_2$ aplicando una rotación y/o una traslación y/o una reflexión. Para precisar esto, se definir dos de estos triángulos para ser congruente y Estoy de acuerdo que a todos los efectos los tratamos como esencialmente idénticos. Así que, en realidad, estamos estudiando clases de equivalencia de triángulos congruentes.
Ahora, el mismo principio se aplica a otras estructuras matemáticas. Por ejemplo, es un hecho conocido que dos modelos cualesquiera de aritmética de Peano + Inducción son isomorfos. Se dice que la teoría es categórica (aunque esto no tiene nada que ver con la teoría de categorías). Aquí el significado de isomorfismo es que existe una biyección entre los conjuntos de modelos que respeta toda la estructura. En particular, implica que cualquier cosa verdadera sobre el primer modelo se traduce a través de la biyección a algo verdadero sobre el segundo modelo. Así, hay esencialmente un solo modelo de los números naturales, donde "esencialmente" significa "hasta el isomorfismo", y la implicación es que hay básicamente un solo modelo de los números naturales, de modo que todos son iguales excepto por la posibilidad de tener diferentes nombres para los números. Una categoricidad similar es bien conocida para los reales cuando se axiomatizan como un campo completo ordenado.
La teoría de las categorías es un marco muy general para hablar de la estructura y, por tanto, de la igualdad esencial y de los isomorfismos. Una categoría puede ser una cosa muy abstracta en la que los objetos no tienen por qué ser conjuntos. Sin embargo, decimos que dos objetos $x,y$ en una categoría son isomorfas si existe un isomorfismo entre ellas. Un isomorfismo en una categoría es una flecha $fx\to y$ tal que existe una flecha $g:y\to x$ tal que $f\circ g =id_y$ y $g\circ f =id_x$ . Dos objetos isomórficos de una categoría son intercambiables en lo que respecta a las propiedades categóricas. Es decir, cualquier propiedad categórica que $x$ se satisface, $y$ también satisface. Por lo tanto, si usted está interesado en un problema matemático que puede ser formulado dentro de alguna categoría, entonces no puede importarle si la respuesta a su pregunta es $x$ o $y$ .
En cuanto a la geometría en general, hay muchas nociones diferentes de geometría y puede ser un poco complicado, así que lo dejaré sin respuesta.
También hay que señalar que a menudo es importante una noción más débil que la de isomorfismo. Por ejemplo, si dos categorías son isomorfas, entonces ciertamente son esencialmente iguales, pero esto resulta ser una condición bastante fuerte. Una condición mucho más débil es la de equivalencia de categorías. Todo esto está muy relacionado con el reciente libro El axioma univalente de Voevodsky un nuevo fundamento para las matemáticas.
