Álgebras de Hopf que surjan como Álgebras de Grupo

Question

Cada conmutativa $C^*$-álgebra es isomorfo al conjunto de funciones continuas, que se desvanecen en el infinito, de un localmente compacto Hausdorff espacio. Cada conmutativa finito dimensionales álgebra de Hopf es el grupo de álgebra de algunos finito grupo. ¿Existe una caracterización de los finitely generado conmutativa álgebras de Hopf que surgen como álgebras de grupo?

Answer 1

Tal vez esto puede ser de uso: James S. Milne, Algebraica de los Grupos, la Mentira de los Grupos, y sus Aritmética de los Subgrupos. El capítulo I de este texto considera afín algebraica de los grupos; estos son uno-a-uno contravariante correspondencia con finitely generado conmutativa álgebras de Hopf. Álgebras de Hopf que pasan a ser el grupo de álgebras corresponden a diagonalizable algebraica de los grupos; estos se consideran en I. 12. Por desgracia, yo no veo ningún resultado en cómo reconocer a un diagonalizable algebraica de grupo, pero tal vez este punto de vista puede ayudar a usted en google.

Answer 2

Desde el interrogador comienza preguntando acerca de la $C^*$ álgebras, voy a asumir que él solo se preocupa de álgebras de Hopf sobre $\mathbb{C}$. Cada finitely generado, conmutativa $\mathbb{C}$-Hopf-álgebra es el polinomio de las funciones algebraicas grupo $G$. Como Ben dice, que sólo se puede dar $G$ a ser Especificación de la álgebra de Hopf y, a continuación, el comultiplication da una estructura de grupo en esta Especificación.

Hay varias maneras de que el trabajo de más de $\mathbb{C}$ hace las cosas mejor que trabajar más arbitrario de los campos. Otras respuestas han señalado con ellos pero, en mi opinión, lo han hecho de una manera que hace que las cosas suenen más confuso. Permítanme, en lugar de señalar qué bonito algebraica de los grupos de más de $\mathbb{C}$ son:

1. Usted puede preocuparse de que $G$ no sería reducido. Esto ocurre a través de los campos de la característica $p$, pero no de característica cero. Ver a mi pregunta anterior. También, usted puede preocuparse de que $G$ tiene singularidades, pero no es así. En resumen, $G$ es un complejo Mentira grupo.
2. No algebraicamente cerrado campos de $k$, el comportamiento de la $k$-puntos de $G$ no puede determinar el comportamiento de las $G$. Por ejemplo, supongamos $X = \mathrm{Spec} \mathbb{R}[x]/(x^n-1)$. A continuación, $X$ puede ser equipado con la estructura algebraica de grupo de orden $n$; el subproducto es $x \mapsto x \otimes x$. Intuitivamente, usted debe pensar en la $x_1 \times x_2 \mapsto x_1 x_2$, por lo que este grupo es el $n$-th raíces de $1$ bajo la multiplicación. Por el Nullstellansatz, esto no puede suceder más de $\mathbb{C}$. El $\mathbb{C}$-puntos por ser denso (en tanto el ordinario y topologías de Zariski) y cualquier mapa será determinado por lo que hace a la $\mathbb{C}$-puntos.

Answer 3

Cada finitely generado conmutativa álgebra de Hopf es el de las funciones de un esquema de grupo finito de tipo. Acaba de tomar Especificaciones: el subproducto y antípoda darle las operaciones del grupo.

Answer 4

Como Ben dice, un conmutativa álgebra de Hopf $R$ es, por definición, el anillo de coordenadas de un grupo afín esquema. También hay grupo de esquemas que no son afines, tales como abelian variedades, por lo que están excluidas de la pregunta. Ya que la pregunta es sobre álgebras de, vamos a decir que el esquema de grupo $G$ está definido sobre un campo $k$. A continuación, $G$ es moral, pero no en realidad, la misma que la de su grupo de $k$-puntos racionales $G(k)$. A menos $G$ es un grupo finito con $R = k[G(k)]^*$, el doble de la habitual grupo de álgebra, hay tres posibles diferencias entre el $R$ y una (doble) grupo de álgebra.

En primer lugar, el grupo de elementos de $G(k)$ son ideales de a $R$ con residuos de campo $k$, y su grupo la ley es dada por el subproducto en $R$. Si $p$ es un ideal, visto como un punto en $G$, entonces, en general, la función que es de 1 en $p$ $0$ en el resto de $G$ no es regular; no es un elemento de $R$. Esta es una manera de decirle que $G$ debe ser 0-dimensional en orden para $R$ a ser un literal grupo de álgebra.

En segundo lugar, si $k$ no es algebraicamente cerrado, puede haber otros puntos cercanos en $G$ cuyo residuo de campo es un campo de extensión de $k$. Si la extensión de campo es separable, entonces el grupo de la ley sobre estos puntos es multivalor. Por ejemplo, si $G = \text{GL}(n,\mathbb{R})$, entonces se tiene complejo de puntos, que corresponden a complejo conjugado pares de matrices complejas. El camino para multiplicar dos de estos puntos es multiplicar se conjuga en todas las formas posibles. (Este es un ejemplo de la fabricación de un producto tensor $E \otimes_k F$ de los dos campos más de un campo, una operación que también ocurrió en otro MO pregunta.)

Tercero, en el carácter $p$, $G$ no puede ser reducido. El ejemplo más sencillo es en realidad finito-dimensional: Tomar el universal que envuelve álgebra $U(L)$ de un abelian Mentira álgebra, es decir, un polinomio de álgebra, y se dividen por el ideal de la $p$th poderes de los elementos de $L$ para obtener un finito-dimensional álgebra de Hopf $u(L)$ que es un anillo local. (Esto es similar y relacionado con una construcción común con quantum grupo de álgebras de Hopf.) Sin embargo, Cartier y Oort mostró que algebraicas grupo en los planes de característica cero se reducen. Siempre se puede reducir el $G$ como un esquema, pero, como en el ejemplo $u(L)$, se le puede tirar por la borda todo lo interesante.

Answer 5

Nadie ha mencionado la importancia de ejemplos clasificados álgebras de Hopf que se producen en topología algebraica. Por ejemplo, el cohomology de una Mentira grupo con coeficientes complejos es un conmutativa álgebra de Hopf sobre C que no es un grupo de álgebra, o incluso de un número finito de esquema de grupo, en el sentido usual de la palabra. Por supuesto, es gradual, por lo que tal vez no es relevante a la pregunta original, pero estos son tan importantes, parece que merece la pena hablar de ellos.