Supongo que me debe demostrar un teorema por (fuerte) de la inducción en $\mathbb N$. Si la declaración del teorema tiene sentido, por ejemplo, para $n\ge 1$, a menudo como base el caso de que uno elige $n=0$ y dice: "por $n=0$ no hay nada que demostrar". Así que en lugar de empezar a probar el caso base para $n=1$, la inducción "comenzar" desde una declaración de que formalmente no tiene sentido.
No entiendo por qué este procedimiento es permitido.
La declaración no es, o más bien no debería ser, sin sentido - sólo trivial (cuyo significado varía en el autor del público objetivo, por supuesto). Es decir, "nada que demostrar", significa "no tenemos trabajo que hacer porque este hecho es evidente".
Por ejemplo, uno de mis profesores, que es un topologist dice que, cuando tiene la oportunidad, le encanta empezar un argumento inductivo en las esferas $S^n$ a partir de $n=0$ (cuando la esfera $S^0$ está a sólo dos puntos discretos en el espacio), o, incluso, $n=-1$ cuando sea posible (al $S^{-1}$ es el conjunto vacío).
La inducción es en realidad una aplicación de la siguiente teorema:
Deje $P(x)$ ser una propiedad de $x$. Si $P(0)$ es cierto, y para cada $n\in\Bbb N$, $P(n)\rightarrow P(n+1)$; a continuación, para cada número natural $P(n)$ mantiene.
Eso significa que si una cierta propiedad tiene cero; y siempre que tiene de $n$ podemos demostrar que tiene de $n+1$, entonces esta propiedad se mantiene para cada número natural. Esto, por supuesto, nos salva infinitamente muchos esquemática de las pruebas.
Por ejemplo, el caso de $n<2^n$; queremos mostrar siempre es verdadero. Así que, en teoría teníamos que tomar cada número natural por separado y mostrar esta desigualdad se cumple para cada caso. Pero esos son infinitamente muchas pruebas para escribir, y sólo tenemos muchos árboles a su vez en los papeles, además podemos morir en algún momento dentro de los primeros $2^{10000}$ de los casos. Así que en lugar necesitamos encontrar un mejor método, el método sería tomar cualquier número natural y para demostrar que esto es cierto para ese número. Desde que nos dimos un número arbitrario, debe ser cierto para cualquier número íbamos a tomar.
Pero no todas las pruebas que fácilmente puede ser escrito de una manera completamente arbitraria caso, y a menudo nos encontramos en la necesidad de un mayor supuestos. La inducción nos permite tener ese extra de la asunción, que lo que queremos demostrar, que era cierto para el número anterior. Entonces, el proceso de inducción nos dice, compruebe que el cero tiene la quería propiedad y listo!
Por suerte para nosotros, muchos de los reclamos que se demuestra por inducción son vacuously, o trivialmente cierto para el cero. Por ejemplo, la suma de las fórmulas son trivialmente cierto para cero, porque sumando elementos no es sólo cero.
Algunas personas prefieren empezar de menos no trivial caso. A veces es instructivo para hacerlo (por ejemplo, al dar los primeros ejemplos de la inducción); y puede ser que usted va a tener que separar ese caso del resto de todos modos. Pero también es importante entender que incluso si no tenemos nada sustancial para demostrar para el caso de $n=0$, está bien, si partimos de ahí.
Diciendo: "no hay nada que probar para $n=0$" (decir) debe decir exactamente eso; la declaración tiene un significado definido para $n=0$, pero es vacuously (no trivial, que es un término subjetivo) satisfechos. Por ejemplo, la declaración puede afirmar que todos los elementos de algunas $n$-conjunto tienen una cierta propiedad; para el conjunto vacío uno no puede ni siquiera empezar a considerar un elemento. O la hipótesis de la declaración podría ser imposible de satisfacer por $n=0$. O de otras circunstancias similares, donde uno simplemente no puede encontrar cualquier cosa que necesita consideración.
Ya que usted menciona el Jordan-Hölder teorema en un comentario, me miró, y no es realmente un ejemplo de "nada que demostrar" para el caso de $|G|=1$. Ese grupo tiene una composición única serie, de la longitud de la$~0$, y el resultado es trivialmente verdadera, debido a que los dos elementos de un singleton conjunto son necesariamente iguales, pero no vacuously. Sería vacuously cierto para $|G|=0$ si se toma como el punto de partida del caso, ya que no hay grupos con $0$ elementos. Si uno puede usar eso como a partir de los casos depende de la forma de la perspectiva de paso; sin embargo, si se utiliza de que la serie ha positivos longitud, entonces no puede ser utilizado para $|G|=1$.
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