Cómo probar existen distintos $a_{i}$ tales $f'(a_{1})f'(a_{2})f'(a_{3})\cdots f'(a_{n})=1$

Question

Deje $f$ ser un mapa continuo de $[0,1]$ $R$que es diferenciable en a$(0,1)$,$f(0)=0,f(1)=1$, muestran que para cada postive entero $n$ existen distintos números de $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in (0,1)$,de tal manera que

$$f'(a_{1})f'(a_{2})f'(a_{3})\cdots f'(a_{n})=1$$ Gracias de antemano.

Answer 1

Una prueba inductiva.

Podemos demostrar formalmente más general (de hecho obviamente equivalente) declaración: Si $c>0$, $f:[0,c]\to\mathbb{R}$ es continua y derivable en a$(0,c)$$f(0)=0$, luego los hay de distintos números de $0<a_1<\ldots<a_n<c$ tal que $f'(a_1)\cdots f'(a_n)=\left(\dfrac{f(c)}{c}\right)^n$.

El caso de $n=1$ sigue de Lagrange del MVT.

Supongamos que $n\ge2$, y la afirmación es verdadera para $n-1$.

Aplicar de Cauchy del MVT a las funciones de $(f(x))^n$$x^n$. Por el MVT, hay algunos $\xi\in(0,c)$ tal que $$\dfrac{n\cdot (f(\xi))^{n-1} \cdot f'(\xi)}{n\cdot (\xi)^{n-1}} = \dfrac{f^n(c)}{c^n}$$ $$\left(\dfrac{f(\xi)}{\xi}\right)^{n-1} \cdot f'(\xi) = \left(\dfrac{f(c)}{c}\right)^n.$$ Elija $a_n=\xi$; luego tenemos $$\left(\dfrac{f(a_n)}{a_n}\right)^{n-1} \cdot f'(a_n) = \left(\dfrac{f(c)}{c}\right)^n. \tag1$$ Ahora aplicar la hipótesis de inducción para el intervalo de $[0,a_n]$: hay algunos $0<a_1<\ldots<a_{n-1}<a_n$ tal que $$f'(a_1)\cdots f'(a_{n-1}) = \left(\dfrac{f(a_n)}{a_n}\right)^{n-1}. \tag2$$ Inversión (2) en (1), la declaración de la siguiente.

Answer 2

Algunas ideas: Por el MVT, no es $a_1\in (0,1)$ tal que $f'(a_1) = 1.$ Supongamos $f(a_1) > a_1.$

$$m_1 = \frac{f(a_1)-f(0)}{a_1-0}>1,\,\, m_2 = \frac{f(a_1)-f(1)}{a_1-1}<1.$$

Es bueno para sacar fotos ahora mismo. Por el MVT, de nuevo, no es $x\in(0,a_1)$ tal que $f'(x) = m_1.$ Asimismo, no es $y\in(a_1,1)$ tal que $f'(y) = m_2.$ Ahora podemos aplicar Darboux: En $(0,a_1), f'$ asume cada valor en $(1,m_1).$ Y en $(a_1,1),$ $f'$ se supone que cada valor en $(m_2,1).$

Observar que para las pequeñas $h> 0,1+h \in (1,m_1), 1/(1+h) \in (m_2,1).$ Revisión de un $h.$ hay $a_2\in (0,a_1),a_3 \in (a_1,1)$ tal que

$$f'(a_2)=1+h,f'(a_3)=1/(1+h) \implies f'(a_2)f'(a_3)=1.$$

Bueno, eso es un montón de trabajo para$n=2.$, Pero ahora $n=3$ hecho: $a_2,a_1,a_3$ va a trabajar. Para $n=4,$ hacemos la misma que la anterior: Hay $a_4 \in (a_2,a_1), a_5 \in (a_1,a_3)$ tal que $f'(a_4)>1,f'(a_5)<1,$ $f'(a_4)f'(a_5)=1.$ $a_2,a_4,a_5,a_3$ trabajo para $n=4.$

Para $n=5,$ tiramos en $a_1$ nuevo. Este proceso puede ser continuo, retorciéndose en $a_1$ por extraño $n,$ lanzar $a_1$ incluso $n$ y de hacer lo anterior. De manera que esto debe ordenar con una inducción de la prueba, y también existe la hipótesis original $f(a_1)>a_1$ a cuidar.