¿Qué hay entre lo finito y lo infinito?

Question

Me pregunto si existen teorías no estándar (construidas sobre ZFC con algunos axiomas debilitados o sustituidos) que den sentido formal a hipotéticos objetos tipo conjunto cuya "cardinalidad" esté "entre" lo finito y lo infinito. En un mundo así, no finito puede no significar necesariamente infinito y podría haber un "conjunto" con un "conjunto de potencia" contablemente infinito.

Answer 1

Se me ocurren algunas cosas que podrían encajar:

• Podríamos trabajar en un no $\omega$ modelo de ZFC. En dicho modelo, hay conjuntos el modelo piensa son finitos, pero que en realidad son infinitos; así que hay una distinción entre "internamente infinito" y "externamente infinito". (Algo similar ocurre en análisis no estándar .)

• Aunque su existencia queda descartada por el axioma de elección, es coherente con ZF que haya conjuntos que no sean finitos pero sí Dedekind-finito : no tienen ninguna auto-inyección no trivial (es decir, el Hotel de Hilbert no funciona para ellos). Dichos conjuntos son similares a los conjuntos finitos genuinos en varios aspectos: por ejemplo, se puede demostrar que un conjunto Dedekind-finito puede ser par (= divisible en pares) o impar (= divisible en pares y un singleton) o ninguno pero no ambos. Y de hecho es consistente con ZF que las cardinalidades Dedekind-finitas estén linealmente ordenadas, en cuyo caso provienen de un modelo no estándar de aritmética verdadera; véase https://mathoverflow.net/questions/172329/does-sageevs-result-need-an-inaccessible .

• También podría trabajar en lógica no clásica - por ejemplo, en un topos . No sé mucho sobre este tema, pero surgen muchas distinciones sutiles entre las nociones clásicamente equivalentes; sospecho firmemente que encontrarías algunas cosas interesantes aquí.

Answer 2

Bueno, hay algunas nociones de conjuntos "infinitos" que no son equivalentes en $\mathsf{ZF}.$ Un tipo se denomina Dedekind-infinito ("D-infinito", para abreviar), que es un conjunto con un subconjunto contablemente infinito, o, equivalentemente, un conjunto que tiene un subconjunto propio de la misma cardinalidad. Así pues, un conjunto es D-infinito si y sólo si se cumple el principio de encasillamiento en ese conjunto. La noción más común es la de Tarski-infinito (normalmente llamada simplemente "infinito"), que describe conjuntos para los que no hay inyección en ningún conjunto de la forma $\{0,1,2,...,n\}.$

Resulta, pues, que lo siguiente es equivalente en $\mathsf{ZF}$ :

1. Todo conjunto D-finito es finito.
2. Las uniones D-finitas de conjuntos D-finitos son D-finitas.
3. Las imágenes de los conjuntos D-finitos son D-finitos.
4. Los conjuntos de potencias de conjuntos D-finitos son D-finitos.

Sin un principio de elección débil (cualquier cosa que implique $\aleph_0$ para ser la cardinalidad infinita más pequeña, en lugar de simplemente una cardinalidad infinita mínima), puede ocurrir lo siguiente:

1. Puede haber conjuntos infinitos, D-finitos. En particular, puede haber conjuntos infinitos cuya cardinalidad no sea comparable a $\aleph_0.$ Dicho de otro modo, puede haber conjuntos infinitos tales que al quitar un elemento de dicho conjunto se obtiene un conjunto con una cardinalidad estrictamente menor.
2. Puede haber un conjunto D-finito de conjuntos D-finitos cuya unión es D-infinita.
3. Puede existir una función suryectiva de un conjunto D-finito a un conjunto D-infinito.
4. Puede haber un conjunto D-infinito cuyo conjunto de potencias sea D-infinito.

Answer 3

Permítanme hacer algunas observaciones sobre los aspectos constructivos. La definición estándar es la siguiente: un conjunto $X$ es finito si hay un número natural $n$ y una biyección entre $X$ y $\{ i \in \mathbb{N} : i < n \}$ . Algunas de las propiedades esperadas son ciertas:

• La unión disjunta de dos conjuntos finitos es finita.
• El producto de dos conjuntos finitos es finito.
• El conjunto de mapas entre dos conjuntos finitos es finito.

Por otro lado, hay algunos hechos extraños:

• Los subconjuntos de conjuntos finitos pueden no ser finitos.
• Los cocientes de conjuntos finitos pueden no ser finitos.

Por ejemplo, dada una proposición $\varphi$ , $\{ i \in \mathbb{N} : \varphi \land i < 1 \}$ es finito si y sólo si $\varphi \lor \lnot \varphi$ se mantiene. (Esto se debe a que la igualdad en $\mathbb{N}$ es decidible). Por lo tanto, uno está tentado a buscar nociones más débiles de finitud.

He aquí una alternativa. La clase de Kuratowski-finito se define inductivamente como sigue:

• El conjunto vacío es Kuratowski-finito.
• Todo conjunto unitario es Kuratowski-finito.
• La unión de dos conjuntos definidos por Kuratowski es definida por Kuratowski.

Es cierto que el cociente de un conjunto definido por Kuratowski es automáticamente definido por Kuratowski. De hecho, todo conjunto finito de Kuratowski está en biyección con el cociente de algún conjunto finito, por lo que podríamos llamarlos conjuntos finitamente generados. En particular, la finitud de Kuratowski es estrictamente más general que la finitud. Por otro lado, los subconjuntos de conjuntos finitos de Kuratowski pueden no ser finitos de Kuratowski.

Answer 4

En el nivel elemental de la suma de una serie infinita típica como $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ se puede ilustrar la idea de infinitos más pequeños que el superíndice $\infty$ en la suma utilizando el marco hiperreal. En este caso, la elección de un hiperintegro positivo no estándar $H$ da una suma hiperfinita $\sum_{n=1}^H \frac{1}{n^2}$ que está infinitamente cerca de la suma de la serie pero no lo es del todo. En concreto, se tiene $\sum_{n=1}^H \frac{1}{n^2}<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ (desigualdad estricta) pero $\sum_{n=1}^H \frac{1}{n^2}\approx\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ . Otra aplicación típica es la suma hiperfinita $\sum_{n=1}^H \frac{1}{10^n}<1$ . Escribiendo el lado izquierdo como cero, punto, seguido de más de cualquier número finito de $9$ s es arriesgado; véase por ejemplo aquí .