La geometría riemanniana es un tema difícil de escribir en LaTeX. Por ejemplo, hay conceptos de la geometría riemanniana que se entienden mejor por medio de imágenes que no llevarían más de cinco segundos para dibujar a mano, pero mucho más tiempo para incorporarlas a un archivo LaTeX. Lo mismo puede decirse de los cálculos largos en geometría de Riemann (por ejemplo, el cálculo del tensor de curvatura de Riemann, el tensor de Ricci o la curvatura escalar de una variedad de Riemann). Por supuesto, habrá sin duda algunas personas que puedan teclear los contenidos de una asignatura como la geometría de Riemann de forma muy eficiente y organizada, pero incluso para esas personas escribir a mano los mismos contenidos sería más eficiente.
Creo que escribir tus notas a mano es en realidad una mejor idea que escribir tus notas en LaTeX. La razón es doble. En primer lugar, escribir los apuntes te obliga a pensar en el material antes de empezar a escribir; no puedes simplemente pulsar el "retroceso" o "cortar, copiar o pegar" cuando escribes a mano y tendrás que planificar lo que vas a escribir. En segundo lugar, creo que escribir los apuntes a mano es un proceso más implicado en el sentido de que tu memoria del material será mejor si lo haces así (pero probablemente haya personas que sean excepciones a esta regla).
Por supuesto, la ventaja de escribir los apuntes en LaTeX es que tienes un conjunto de apuntes limpio y organizado en un lugar fácilmente accesible. Sin embargo, creo que el propio libro de texto sirve para este propósito; tus notas deben distinguirse del libro de texto si quieren tener un valor adicional.
Mi consejo es que no tomes demasiadas notas cuando estudies. La razón es que esto te ralentiza lo suficiente como para que las desventajas sean mayores que las ventajas. Creo que tomar apuntes de alguna forma es definitivamente útil cuando se aprende un nuevo tema, pero esto depende de lo que realmente se escriba. Además, a efectos prácticos, puede que no sea posible anotarlo todo.
Te aconsejo que escribas lo suficiente como para tener una comprensión del "panorama general", es decir, conceptualizar lo que estás estudiando. Si estás aprendiendo geometría riemanniana (como es el caso), esto no implica escribir cada teorema y cada demostración. Más bien debes anotar aquellas definiciones, resultados y ejemplos que te ayuden a ver las intuiciones del tema. Por ejemplo, la existencia y unicidad de las geodésicas en una variedad riemanniana (sujeta a dos condiciones iniciales) es esencialmente una aplicación "inteligente" del teorema fundamental de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Si se intenta escribir toda la demostración (línea por línea), la verdadera razón por la que el resultado es verdadero quedará oculta.
Del mismo modo, la comprensión de que la prueba de la existencia y unicidad de la conexión de Levi-Civita en una variedad riemanniana es similar en su enfoque a la construcción del operador diferencial en el complejo de Rham de una variedad suave es también una idea conceptual importante. Deberías destacar estas ideas conceptuales tanto como sea posible en lugar de la lógica y los cálculos línea por línea que ocurren en la demostración. La clave para entender y recordar realmente un tema es tener un marco conceptual sólido en la mente.
Debo añadir que la memorización de las fórmulas de la geometría de Riemann se ve favorecida por los cálculos explícitos que implican la fórmula. Deberías intentar calcular al menos algunos ejemplos de geodésicas, el tensor de curvatura de Riemann, el tensor de Ricci, la curvatura escalar, etc., para comprender mejor los mecanismos de las fórmulas. Las conexiones en tu cerebro entre el marco conceptual de la asignatura y los cálculos explícitos se fortalecen haciendo tantos cálculos como sea posible.
En resumen, mi consejo es que escribas lo máximo posible tus intuiciones en el tema y por qué crees que ciertos resultados son ciertos. De hecho, debes ser creativo en este proceso; si entiendes la demostración de un resultado pero sientes que no estás seguro de por qué es cierto, entonces intenta buscar una comprensión más profunda que te ayude a darte cuenta de ello. Por ejemplo, hacer ejemplos con el teorema en cuestión suele ser útil si realmente quieres entender por qué el teorema es cierto; escribe estos ejemplos y tus conclusiones basadas en ellos. Si te das cuenta de que olvidas lo que estás aprendiendo, entonces creo que escribir todo no ayuda tanto como parece que debería; estarías aprovechando mejor tu tiempo para conceptualizar el material y pensar en el panorama general.
Espero que esto ayude.
