En una prueba reciente, en un curso que estoy TAing, los estudiantes fueron invitados a demostrar que el pecado(x) no es una función racional mediante el hecho de que los polinomios sólo tiene un número finito de ceros. Durante mi tutorial, me gustaría mostrarles algunos otros interesantes problema de cuyo (razonablemente corto!) la solución utiliza el hecho de que los polinomios sólo tiene un número finito de ceros. ¿Cuál es tu favorito?
Respuestas
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Beni Bogosel
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Sé que una prueba del hecho de que dados dos cuadrados $n \times n$ real de las matrices de $A$$B$, $AB$ $BA$ tienen el mismo polinomio característico. Esto es muy fácil si $A$ o $B$ es invertible porque $$ \det (AB+\lambda I)=\det(A)\det(B+ \lambda A^{-1})=\det(BA+\lambda I)$$
Ahora, para fijo $\lambda$ el valor: $$ g(\mu)=\det((A+\mu I)B+\lambda I) $$ y $$ h(\mu)=\det(B(A+\mu I)+\lambda I) $$ A continuación, $g,h$ son polinomios en $\mu$. Además, dada la inicial de la observación y el hecho de que $A+\mu I$ es invertible para todos, pero un número finito de $\mu$, follos que $$ g(\mu)-h(\mu)=0$$ for all but finitely many $\mu$. But since a polynomial which has more roots than its degree is zero, it follows that $g=h$ and in particular, for $\mu=0$ se deduce que
$$\det(AB+\lambda I)=\det(BA+\lambda I)$$
Math Gems
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Una buena aplicación que merece ser mejor conocido: si un polinomio $\:f(x)\:$ $\:\mathbb Z/n\:$ tiene más raíces de su grado, entonces podemos calcular un factor no trivial de de $\:n\:$ a través de una simple $\rm\:gcd\:$ cálculo.
El cuadrática caso de esto está en el corazón de muchos entero de la factorización de algoritmos, los cuales intentan factor de $\:n\:$ por la búsqueda de un trivial de la raíz cuadrada de $\rm\: \mathbb Z/n\:,\:$ por ejemplo, una raíz cuadrada de $1$ que no es $\:\pm 1$.
