En primer lugar, indicar por $p_E(n)$ el número de particiones de $n$ con un número de partes, y deje $p_O(n)$ ser aquellos con un número impar de piezas. Por otra parte, vamos a $p_{DO}(x)$ el número de particiones de $n$ cuyas partes son distintas y extrañas. Por último, vamos a $c(n)$ el número de particiones de $n$, que es conjugado a sí mismos.
Con esta notación, ¿por qué no $c(n)=p_{DO}(n)=(-1)^n(p_E(n)-p_O(n))$?
Para el primero la igualdad, el Joven diagrama de un auto-conjugado de la partición y romperla en los ganchos con una diagonal plaza de la esquina; sus tamaños forman una partición de $n$ en distintas impar de piezas, y la operación inversa, es evidente.
Para la segunda igualdad, considere el siguiente involución para que coincida con cualquier partición de $n$ en el subconjunto $S=p(n)\setminus p_{DO}(n)$ de las particiones que no están en distintas impar partes, con otro elemento de $S$ con el opuesto de la paridad de su número de sus partes. Para $\lambda\in S$, la prueba de los números impares $m=1,3,5,\ldots$ en orden, teniendo en cuenta el conjunto de partes de a $\lambda$ de la forma$2^km$$k\in\mathbf N$. Si el conjunto está vacío o se compone de una sola pieza $m$, pasar al siguiente número impar. Desde $\lambda\in S$, hay algunos $m$ que no se omite; parada en el más pequeño de tales $m$. Ahora el máximo $k$ tal que $\lambda$ tiene una parte de tamaño $2^km$. Si esta parte es única, $k\neq0$ por la elección de $m$; romper la parte en dos partes de tamaño $2^{k-1}m$. De lo contrario, $\lambda$ tiene al menos dos partes; la cola para formar parte del tamaño de la $2^{k+1}m$. Uno fácilmente se comprueba que la partición $\mu$ de lo producido es en $S$, que este procedimiento es una involución en $S$, $\lambda,\mu$ siempre tienen paridades opuestas por el número de sus partes.
Así, los elementos de $S$ juntos producen una nula contribución a $p_E(n)-p_O(n)$. Queda por demostrar que cada elemento de a $p_{DO}(n)$ contribuye $(-1)^n$$p_E(n)-p_O(n)$. Pero es obvio (por la suma de las partes modulo $2$) de que la paridad del número de partes de cualquier partición en $P_{DO}(n)$ es el mismo que el de $n$, que se asienta este punto.
Un boceto de una prueba de que $c(n)=p_{DO}(n)$ se puede encontrar aquí; se trata de una sencilla manipulación de diagramas de Ferrers. El resto parece más fácil que ver con la generación de funciones.
Primera nota de que en
$$\prod_{k\ge 1}\frac1{1+x^k}=\prod_{k\ge 1}(1-x^k+x^{2k}-+\dots)\;,$$
el individuo $x^n=x^{k_1}x^{k_2}\dots x^{k_m}$ términos son positivos o negativos de acuerdo como $m$ es par o impar, y por lo tanto
$$\prod_{k\ge 1}\frac1{1+x^k}=\sum_{k\ge 0}\big(p_E(k)-p_O(k)\big)x^k\,:$$
una partición de $(k_1,k_2,\dots,k_m)$ se cuenta de forma positiva al $m$ es incluso negativa y al $m$ es impar.
Del mismo modo, en
$$\prod_{k\ge 0}(1-x^{2k+1})$$
el $x^n$ términos son todos de la forma $x^{2k_1+1}x^{2k_2+1}\dots x^{2k_m+1}$, donde el $k_i$ son distintos, y el término es positivo incluso para $m$ y negativo para los impares $m$, por lo que
$$\prod_{k\ge 0}(1-x^{2k+1})=\sum_{k\ge 0}(-1)^kp_{DO}(k)x^k\;.$$
Si podemos demostrar que
$$\prod_{k\ge 0}(1-x^{2k+1})=\prod_{k\ge 1}\frac1{1+x^k}\;,\tag{1}$$
vamos a ser capaces de concluir que el $p_E(k)-p_O(k)=(-1)^kp_{DO}(k)$ y que, por ende,$p_{DO}(k)=(-1)^k(p_E(k)-p_O(k))$.
Para demostrar $(1)$, se observa que la
$$\begin{align*} \prod_{k\ge 1}\frac1{1+x^k}&=\prod_{k\ge 1}\frac{1-x^k}{1-x^{2k}}\\\\ &=\frac{\prod\limits_{k\ge 1}(1-x^k)}{\prod\limits_{k\ge 1}(1-x^{2k})}\\\\ &=\frac{\prod\limits_{k\ge 1}(1-x^{2k})\prod\limits_{k\ge 0}(1-x^{2k+1})}{\prod\limits_{k\ge 1}(1-x^{2k})}\\\\ &=\prod_{k\ge 0}(1-x^{2k+1})\;. \end{align*}$$
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