$\forall x \,\exists k$ s.t. $f^{(k)}(x)=0$ , $f$ es un polinomio

Question

Mi amigo me ha enviado el siguiente problema:

Supongamos que $f$ es real analítica en $(a,b)$, y que para todos los $x$ en $(a,b)$ existe un entero no negativo, $k$ tal que $f^{(k)}(x)=0$. Mostrar que $f$ es un polinomio.

Creo que he resuelto que (puedes leer mi respuesta debajo de la tapa si usted está interesado). Entonces mi amigo me hizo la pregunta de ¿qué pasa si $f$ solo $C^{\infty}$.

Creo que mi argumento a continuación se ha demostrado que la $\{x: \exists \,\,\text{a nbd of } x\,\,\text{on which }f \,\,\text{is a polynomial}\}$ es denso en $(a,b)$. Pero me parece que no puede mostrar lo que implica, $f$ es un polinomio. Alguien puede pensar en un contra-ejemplo, o terminar la prueba?

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La proposición: Supongamos que $f$ es real analítica en $(a,b)$, y que para todos los $x$ $(a,b)$ existe un entero no negativo, $k$ tal que $f^{(k)}(x)=0$. A continuación, $f$ es un polinomio.

Prueba: Si $f$ está de acuerdo con un polinomio $p$ en un intervalo abierto, entonces la expansión de Taylor en cualquier punto de ese intervalo es finito, y por lo tanto tiene una infinita radio de convergencia. Propiedades de las funciones analíticas, a continuación, implica que $f=p$$(a,b)$. Así que supongamos por contradicción que $f$ no está de acuerdo con un polinomio en un intervalo abierto.

Para todos los $x\in (a,b)$, definir $n_x$ a ser el más pequeño entero $k$ que $f^{(k)}(x)=0$. Deje $x\in (a,b)$ ser arbitraria. Entonces, por la continuidad de todos los derivados, existe un entorno $(a_1,b_1)\subseteq (a,b)$ tal que $n_y\geq n_x$ todos los $y\in (a_1,b_1)$. Ahora si $n_y=n_x$ todos los $y\in (a_1,b_1)$, $f$ está de acuerdo con un polinomio en el intervalo, una contradicción. De modo que existe $x_1\in (a_1,b_1)$ tal que $n_{x_1}>n_x$. Tome $[\alpha_1, \beta_1]\subset (a_1,b_1)$ tal que $x_1\in [\alpha_1,\beta_1]$. Ahora repita el proceso, a partir de $x_1$, para generar $x_2 \in [\alpha_2,\beta_2]$ tal que $n_{x_2}>n_{x_1}$.

El anidado de intervalo teorema ahora implica que existe un punto de $x^* \in \cap_{i}[\alpha_i,\beta_i]$, y desde $n_{x_i}\xrightarrow{i\to\infty} \infty$, $f^{k}(x^*) \neq 0\,\,\forall k$, una contradicción. $\blacksquare$

Answer 1

La siguiente prueba debe hacer el trabajo (si es correcto):

Deje $\epsilon>0$ y denotan por $X_0=[a+\epsilon,b-\epsilon]$. Observe que $X_0$ es un completo espacio métrico (necesitábamos para restringir en los límites para obtener integridad). Ahora vamos a: $$A_k=\{x\in X_0|f^{(k)}(x)\neq0\}=(f^{(k)})^{-1}(\mathbb{R}-\{0\})\subseteq X_0$$ Los conjuntos son abiertos, se supone que todos ellos son densos, entonces la categoría de Baire teorema afirma que su intersección es también denso. Sin embargo, por supuesto, tenemos $\bigcap_{k\ge0}A_k=\emptyset$, lo cual es una contradicción. Por tanto hay algo de $k_0$ tal que $X_0-A_{k_0}$ contiene algunas conjunto abierto $U_0$, es decir, $f|_{U_0}$ debe ser un polinomio.

Deje $X_1=X_0-U_0$ y repetir todo lo anterior para obtener algún conjunto abierto $U_1\subseteq X_1$ que $f$ es de nuevo un polinomio, y así ad infinitum (o hasta que $U_n=X_n$, lo que nos daría la declaración).

Definir $U=\bigcup_{n\ge0}U_n$. Si $U\subsetneq X_0$, entonces el mismo proceso como el anterior en $X_0-U$ nos daría un nuevo abrir no contenida en $U$, lo cual es una contradicción, por lo $U=X_0$. Por la compacidad de $X_0$, hay algunos $N$ tal que $X_0=\bigcup_{n\ge0}^NU_n$, y por lo tanto $f$ debe ser un polinomio en $X_0$.

(Lo que es equivalente, la respuesta en MO proporcionada por Bryan hace el trabajo, y es, probablemente, mucho más elegante expuesto que la mía.)

Supongamos ahora que $f$ no es un polinomio en todas partes. Esto significa que hay algún pequeño conjunto abierto cerca de la frontera donde $f$ no es un polinomio, y en particular algunos de $x_0$ tal que $f$ no es un polinomio en cualquier barrio de $x_0$. Pero haciendo $\epsilon$ más pequeñas si es necesario, se puede tomar $x_0$ en el interior de $X_0$, la obtención de una contradicción. Por lo tanto $f$ debe ser un polinomio en el conjunto de la $(a,b)$.

Estaría agradecido si alguien puede comprobar si funciona y si no he hecho ningún errores estúpidos.