Pregunta sobre espacios métricos (encontrar una métrica incompleta equivalente)

Question

Supongamos que $(X, \tau)$ es una topología metrizable y dejemos que $d$ sea cualquier métrica que lo mida. Supongamos además que $(x_n)$ en $X$ es una secuencia tal que $\alpha =\text{inf}_{m \neq n} \: d(x_n,x_m) >0$ . Quiero demostrar que para una secuencia adecuada $(\beta_n)$ en $\mathbb{R}_{>0}$ ,

$$\bar{d}(x,y) = \text{min } \{ d(x,y), \text{inf }_{m,n} d(x,x_m) + |\beta_m - \beta_n| \alpha + d(x_n,y) \}$$

es una métrica equivalente incompleta.

¿Alguna idea o consejo?

Answer 1

Creo que cualquier secuencia de números positivos distintos $(\beta_n)$ satisfaciendo $\beta_n \to 0$ lo hará. La suposición muestra que $(x_n)$ no es una secuencia de Cauchy en la métrica $d$ por lo que no converge en $(X,\tau)$ . La definición de $\bar{d}$ implica que $\bar{d}(x_m,x_n) \le |\beta_m-\beta_n| \alpha$ para todos $m,n$ Así que si $\beta_n \to 0$ sabemos que $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy con respecto a $\bar{d}$ . Esto demuestra que $\bar{d}$ tiene una secuencia de Cauchy no convergente, por lo que es una métrica incompleta.

Para demostrar que $d$ y $\bar{d}$ son equivalentes, observe primero que la definición implica $\bar{d} \le d$ . Ahora bien, si $x \in X$ no está en la secuencia $(x_n)$ entonces $\delta := \inf_n d(x,x_n)>0$ (ya que la suposición implica que $(x_n)$ no tiene puntos de acumulación). Así que para todos $y$ con $d(x,y)<\delta$ o $\bar{d}(x,y)<\delta$ tenemos realmente eso $d(x,y) = \bar{d}(x,y)$ . Si $x=x_m$ para algunos $m$ entonces por la suposición de que $\beta_m \ne \beta_n$ para $m\ne n$ y que $\beta_n \to 0$ , obtenemos que $\delta := \inf_{n \ne m} |\beta_m - \beta_n|\alpha > 0$ y así también para cualquier $y$ con $d(x,y)<\delta$ o $\bar{d}(x,y)<\delta$ obtenemos $d(x,y) = \bar{d}(x,y)$ . Estos argumentos muestran que la vecindad con respecto a $d$ y $\bar{d}$ son iguales, por lo que las topologías inducidas por $d$ y $\bar{d}$ coinciden.