¿Hay alguna forma de expresar $${}_2F_1\bigg(\frac{1}{12}, \frac{5}{12}; \frac{1}{2}; z\bigg)^2$$ como una serie única a la Clausen? Nótese que la identidad de Clausen no es aplicable aquí.
Utilizando Maple, obtengo $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma \left( {\frac {7}{12}} \right) \Gamma \left( {\frac {11}{12}} \right) {\mbox{$ _4 $F$ _3 $}(\frac{1}{12},{\frac {5}{12}},-n,\frac{1}{2}-n;\,1/2,-n+{\frac {7}{12}},-n+{\frac {11}{12}};\,1)\;(4z)^n }} {16\,\Gamma \left( -n+{\frac {11}{12}} \right) \Gamma \left( -n+{ \frac {7}{12}} \right) \Gamma \left( 2\,n+1 \right) \sin^2 \left( {\frac {5}{12}}\,\pi \right) \sin^2 \left( \frac{1}{12}\,\pi \right)} \\ = 1+{\frac {5}{36}}z+{\frac {295}{3888}}{z}^{2}+{\frac {5525}{104976}}{ z}^{3}+{\frac {4281875}{105815808}}{z}^{4}+{\frac {564921305}{ 17142160896}}{z}^{5}+O \left( {z}^{6} \right) $$ No sé qué utilidad tiene.
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Según Wikipedia, esta función es sustancialmente el cuadrado de una función de Legendre ( es.wikipedia.org/wiki/Función_hipergeométrica ), por lo que simplemente trataría de escribir una ecuación diferencial satisfecha por dicha función y comprobar si se resuelve mediante alguna $\phantom{}_p F_q$ .
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No veo por qué es una función de Legendre. ¿Puede usted elaborar?
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@glebovg al menos se relaciona así con la función de Legendre: functions.wolfram.com/FuncionesHipergeométricas/Hipergeométricas2F1/