¿Qué significa resolver una ecuación?

Question

Esta cuestión podría ser más filosófica que matemática.

En la escuela nos enseñan a resolver ecuaciones como $x^2 - 1 = 0$ o $\sin(x) - 1= 0$ . Las soluciones a estas ecuaciones son bastante sencillas. Por ejemplo $x = 1$ y $x = -1$ son las soluciones de la primera ecuación. Se podría decir que la resolución de la ecuación $f(x) = 0$ es lo mismo que encontrar los valores de $x$ que satisfacen la ecuación Para mí esta respuesta no dice realmente lo que significa resolver una ecuación, porque el significado del verbo encontrar es ambiguo. Si alguien dice que las soluciones de la ecuación son todos los números del conjunto $\{y \in \mathbb{R} | f(y) = 0\}$ ¿ha resuelto la ecuación? No creo que lo haya hecho.

Answer 1

Una pregunta interesante. Yo diría que resolver $f(x) = 0$ asciende a

• que muestra el conjunto S = $\{ x \mid f(x) = 0 \}$ , normalmente enumerando sus miembros, o dando una secuencia cuyos elementos son todos los miembros de $S$

• demostrando que los elementos enumerados o enumerables son exactamente iguales a $S$ .

Así que si digo que las soluciones de $\sin x = 0$ son $n\pi, n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ He dado un supuesto conjunto de soluciones $S'$ . Ahora tengo que demostrar que para cada elemento $t$ de $S'$ En realidad, tenemos $\sin t = 0$ y que no hay otros valores de $t$ satisfacer $\sin t = 0$ .

El método por el que llego al conjunto $S$ no es realmente pertinente, a pesar del verbo activo "resolver"; la solución podría provenir de manipulaciones algebraicas o geométricas, o podría venirme en un sueño. Pero la segunda parte -la demostración de que el supuesto conjunto de soluciones es el conjunto de soluciones real- debe seguir las reglas de la lógica y las matemáticas.

Sin embargo, esto es principalmente opinión sobre el discurso matemático común, más que una hecho sobre las matemáticas.

P.D.: Para los conjuntos de soluciones infinitas que no son contables, la respuesta de Christian Blatter empieza a acercarse a una buena descripción, aunque no tiene en cuenta cosas como "el conjunto de soluciones es todo irracional", donde una parametrización del conjunto puede ser muy difícil de conseguir. A grandes rasgos, a medida que los conjuntos de soluciones se complican, la exposición del conjunto se complica cada vez más. No es una gran sorpresa...

Answer 2

Estoy de acuerdo con John Hughes; este es una pregunta interesante. Se hace más interesante por la observación de que a menudo hacer responder a preguntas como "Resolver $f(x) = 0$ " con algo como $\{x \mid g(x) = 0\}$ lo que, a primera vista, parece responder a una pregunta con otra. Típico, por supuesto, $g(x)$ es más simple en cierto sentido que $f(x)$ : Por ejemplo, podríamos responder

$$\text{Solve for $ x \N en \Nmathbb{N} $ in }8x+1-y^2 = 0, y \in \mathbb{N}$$

con

$$x \in \left\{\left.\frac{n(n+1)}{2} \,\,\right|\, n \in \mathbb{N}\right\}$$

donde podríamos pensar en $x-n(n+1)/2$ como la ecuación $g(x)$ que caracteriza las soluciones de $f(x) = 8x+1-y^2 = 0$ para $y \in \mathbb{N}$ . (Hay ejemplos mejores; éste es sólo el que se me ocurre).

Lo que hace que esta caracterización de $x$ más sencillo o mejor que el que se plantea como problema? La explicación que se me ocurre es que estamos de acuerdo en que -hay consenso en que- la solución es una descripción más inmediatamente transparente del $x$ que resuelven el problema que el problema en sí mismo. En otras palabras, las matemáticas (como la ciencia en este sentido) son una actividad social, con acuerdos (a menudo tácitos) sobre lo que constituye un progreso hacia una caracterización más primitiva de un objeto matemático.

Cuando empezamos, como estudiantes, nos acostumbramos a que las soluciones sean concretas, como el número $4$ para $3x-12 = 0$ . Más adelante, comprendemos que las matemáticas son una gran red de relaciones, y que las soluciones a menudo se limitan a pasar de una expresión menos simple o transparente a otra más simple o transparente. ¿Qué es lo que la simplicidad o la transparencia realmente Representar a no suele explicitarse, y no estoy seguro de que pueda explicitarse de forma universal.

Answer 3

Una ecuación, o un sistema de ecuaciones, define un conjunto de soluciones $S$ como el conjunto de todos los miembros $x$ perteneciente a algún universo $X$ que satisfacen ciertas condiciones codificadas en una fórmula, o una "historia" ${\cal P}(x)$ : $$S:=\{x\in X\>|\>{\cal P}(x)\}\ .\tag{1}$$ Este es un descripción implícita del conjunto $S$ . En la mayoría de los casos es fácil comprobar si una propuesta $x\in X$ en realidad pertenece a $S$ o no.

Resolver $(1)$ significa producir un descripción explícita de $S$ . Esta descripción explícita podría consistir en una prueba de que $S$ es de hecho vacío, podría consistir en una lista finita $S=\{x_1,\ldots, x_p\}$ de elementos expuestos explícitamente $x_k\in X$ o puede consistir en una representación paramétrica $$f:\quad I\to X,\qquad \iota\mapsto x_\iota\in X\ ,\tag{2}$$ donde $I$ es un determinado conjunto "estándar", por ejemplo, $I={\mathbb N}$ , $f(I)=S$ y $f$ es inyectiva. En otras palabras: Cada elemento de $S$ es producido por $f$ exactamente una vez de una manera bien entendida.

Answer 4

IMO resolver una ecuación es dar el conjunto de soluciones en extensión ( $S=\{-1,1\}$ ) y no en la intención ( $S=\{x\in\mathbb R|x^2=1\}$ ).

Los elementos del conjunto pueden especificarse mediante expresiones matemáticas, preferiblemente que permitan un cálculo efectivo. Esto hace que la solución sea constructiva.

En los casos en los que no es posible una expresión matemática, se puede considerar que la ecuación está resuelta si se ha realizado el aislamiento de la raíz, es decir, la enumeración de los intervalos que garantizan contener exactamente una raíz, lo que permite potencialmente el cálculo mediante métodos numéricos.

Por ejemplo, considero que afirmar "la ecuación

$$x^7=x+1$$ tiene una única raíz real" es suficiente como solución. Si se añade "la solución está en $(1,2)$ " es mejor, pero es sólo una pista.

En pocas palabras, veo la solución de una ecuación como la discusión de la separación de las raíces. Al final, puedes referirte a cada raíz de forma inequívoca (incluso sin conocer su valor exacto).

La ecuación $x^2=1$ tiene una raíz negativa, $x_-$ y una raíz positiva, $x_+$ . Sin conocerlos, podemos de todos modos afirmar $x_-=-x_+$ .

Answer 5

Si alguien dice que las soluciones de la ecuación son todos los números del conjunto {y∈R|f(y)=0}{y∈R|f(y)=0} ¿ha resuelto la ecuación? No creo que lo haya hecho.

creo que hay que entender 'resolver' más bien como simplificar en este contexto. De una ecuación arbitraria a la solución es como de lo abstracto a lo específico. Usted especifica las reglas abstractas de su modelo. Tienes una ecuación, que representa algo en forma abstracta, la resuelves, tienes los objetos específicos.