Caso General integral $\int^1_0 f(x) \, f'(1-x) \, dx $

Question

Supongamos que tenemos el siguiente caso general

$$\int^1_0 \, f(x) \, f'(1-x) \, dx $$

donde $f$ es diferenciable en a $[0,1]$ . Podemos tener una fórmula general para la integral ?

De cousre podemos generalizar para

$$\int^a_0 \, f(x) \, f'(a-x) \, dx $$

Interesantes ejemplos serían

$$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^n(x) dx $$

Que es fácil de encontrar por la función beta o la integración de las partes .

Answer 1

Aquí está una sugerencia para funciones de clase $\mathcal{C}^1$:

Supongamos primero que $f(0)=f(1)$. En ese caso, $f$ puede ser extendido en una 1-función periódica a través de una serie de Fourier $$f(x)=\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{2 \pi n i x}, \\ c_n=\int_0^1f(x) e^{-2 \pi n ix }\mathrm{d} x.$$

La derivada es entonces $$f'(x)= \sum_{-\infty}^\infty 2 \pi n i c_n e^{2 \pi n i x},$$ so that $$f'(1-x)=\sum_{-\infty}^\infty2 \pi n i c_ne^{-2 \pi n i x}. $$ Cuando se multiplica $f(x) \cdot f'(1-x)$ e integrar en el período, sólo el coeficiente constante es de interés. La integral es, a continuación, $$ \int_0^1 f(x) f'(1-x) \mathrm{d} x= \sum_{-\infty}^\infty 2\pi n i c_n^2 .$$

Si $f(0) \neq f(1)$, considere la función $g(x)=f(x)-x(f(1)-f(0))$. Es de la clase de $\mathcal{C}^1$$f$, y también satisface $g(0)=g(1)$. $g$ tiene los coeficientes de Fourier $$d_n=c_n-(f(1)-f(0))e_n ,$$ where $$e_n=\begin{cases} \frac{1}{2}& n=0 \\ \frac{i}{2 \pi n} & n \neq 0 \end{cases} .$$ Sabemos que $$\int_0^1 g(x) g'(1-x) \mathrm{d} x= \sum_{-\infty}^\infty 2 \pi n i d_n^2 .$$ La integral puede ser más simplificado: $$\int_0^1 [f(x)-x(f(1)-f(0))][f'(1-x)-(f(1)-f(0))] \mathrm{d} x \\=\int_0^1 f(x) f'(1-x) \mathrm{d} x-(f(1)-f(0)) \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-(f(1)-f(0)) \int_0^1 x f'(1-x) \mathrm{d} x+\frac{(f(1)-f(0))^2}{2}. $$ We recognize $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ as $c_0$, and integrate $\int_0^1 x f'(1-x) \mathrm{d} x$ by parts. Finally we have $$\int_0^1 f(x) f'(1-x) \mathrm{d} x=(f(1)-f(0))(2c_0-f(0))-\frac{(f(1)-f(0))^2}{2}+ \sum_{-\infty}^\infty 2 \pi n i d_n^2. $$