La prueba de $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \backsim \chi^2_{n-1}$

Question

Es un resultado estándar que da $X_1,\cdots ,X_n $ muestra aleatoria de $N(\mu,\sigma^2)$, la variable aleatoria $$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$$ has a chi-square distribution with $(n-1)$ degrees of freedom, where $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(X_i-\bar{X})^2.$$ Me gustaría ayudar en probar el resultado anterior.
Gracias.

Answer 1

Un estándar de prueba es algo como esto. Se supone que ya sabe lo siguiente.

1. $\bar{X}$ (la media de la muestra) y $S^2$ son independientes.
2. Si $Z \sim N(0,1)$$Z^2 \sim \chi^2(1)$.
3. Si $X_i \sim \chi^2(1)$ e las $X_i$ son independientes, a continuación,$\sum_{i=1}^n X_i \sim \chi^2(n)$.
4. Un $\chi^2(n)$ variable aleatoria tiene el momento de generación de la función $(1-2t)^{-n/2}$.

Con algo de álgebra, usted puede mostrar, mediante la adición de $-\bar{X} + \bar{X}$ dentro de los paréntesis y agrupar adecuadamente, que $\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 + n(\bar{X} - \mu)^2$. Luego, dividiendo a través de por $\sigma^2$ rendimientos $$ \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \bar{X}}{\sigma}\right)^2 + \left(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)^2.$$
Denotar que estas expresiones por $U, V$, e $W$, respectivamente, de manera que la fórmula de lee $U = V+W$. Por los hechos (2) y (3) anteriores, $U \sim \chi^2(n)$$W \sim \chi^2(1)$. También, $V = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$.

Desde $\bar{X}$ $S^2$ son independientes, por lo que se $V$$W$. Por lo tanto $M_U(t) = M_V(t) M_W(t)$ donde $M_X(t)$ indica el momento de generación de la función de la variable aleatoria $X$. Por el hecho de (4) anterior, esto nos dice que $$\frac{1}{(1-2t)^{n/2}} = M_V(t) \frac{1}{(1-2t)^{1/2}}.$$ Así $$M_V(t) = \frac{1}{(1-2t)^{(n-1)/2}},$$ and therefore $V \sim \chi^2(n-1)$.

Answer 2

No estoy de acuerdo con la caracterización de la prueba en Mike spivey se la respuesta como el estándar de la prueba. Es la prueba para las personas que no saben acerca de las proyecciones en álgebra lineal.

Observe que la asignación de $(X_1,\dots,X_n) \mapsto (X_1-\overline{X},\dots,X_n - \overline{X})$ es una proyección sobre un espacio de dimensión $n-1$. Observe también que su valor esperado es 0. A continuación, recordar que la distribución de probabilidad del vector $(X_1,\dots,X_n)$ es esféricamente simétrica. Por lo tanto, también lo es la distribución de su proyección en un espacio de dimensión uno menos. Por lo tanto el cuadrado de la norma de que la proyección es simplemente el cuadrado de la norma de un aleatoria normal vector con un esféricamente simétrica distribución centrada en el origen. El cuadrado de la norma, por tanto, tiene una distribución de la chi cuadrado con grados de libertad igual a la dimensión de ese espacio.