Encontrar la 44ª dígito de un 80 dígitos si el número es divisible por 13

Question

N es un 80 dígitos enteros positivos (en la escala decimal). Todas las cifras, excepto la 44ª dígitos (desde la izquierda) son 2. Si N es divisible por 13, encontrar la 44ª dígitos ?

P. S: Esto no es una tarea cuestión. Lo encontré en un sitio web y la explicación de la respuesta es muy vaga.

Enlace: http://iim-cat-questions-answers.2iim.com/quant/number-system/other/number-system_8.shtml

Answer 1

Mi interpretación de la respuesta:

Vemos que $222222$ es divisible por $13$. Hay dos herramientas de uso aquí:

$$222222[\text{some digits}] \equiv [\text{some digits}] \pmod {13}$$

y

$$[\text{some digits}]222222$$ is divisible by $13$ if and only if $$[\text{some digits}]$$ is divisible by $13$.

Esto significa que, para determinar la divisibilidad por $13$, podemos eliminar el $2$'s en grupos de seis, desde el inicio y el final de la serie.

Podemos eliminar $42=6 \times 7$ más significativos $2$'s y $36=6 \times 6$ menos significativos $2$'s, lo que deja el número original de ser divisible por $13$ si y sólo si el número total $2a$ es divisible por $13$ (aquí se $2a$ $2$- número de dígitos escritos en forma decimal, es decir, $=20+a$).

A continuación, acabamos de comprobar que el número de la forma $2a$ es divisible por $13$, y pasa a ser $26$. Por lo $a=6$.

Answer 2

222222 es divisible por 13.
Por lo tanto 222...(42 dígitos) es divisible por 13. Ya que (7 * 6 = 42)
Y 222...(36 dígitos) es divisible por 13. Ya que (6 * 6 = 36)
Por lo tanto 42 + 36 = 78 dígitos
Tenemos la 43ª y 44ª dígitos en el centro, que tiene que ser divisible por 13.
Sabemos 43 dígito es 2.
26 es la única posibilidad que es divisible por 13.
Por lo tanto 44 dígito es 6.

Answer 3

Un número ${d_{1}}\dots{d_{80}}$ es divisible por $13$ si y sólo si:

${d_{1}}{d_{2}}-{d_{3}}{d_{4}}{d_{5}}+{d_{6}}{d_{7}}{d_{8}}-\dots+{d_{78}}{d_{79}}{d_{80}}$ es divisible por $13$.

Sabemos que $-{d_{45}}{d_{46}}{d_{47}}+{d_{48}}{d_{49}}{d_{50}}-\dots+{d_{78}}{d_{79}}{d_{80}}=0$.

También sabemos que $-{d_{3}}{d_{4}}{d_{5}}+{d_{6}}{d_{7}}{d_{8}}-\dots+{d_{36}}{d_{37}}{d_{38}}=0$.

Por lo tanto ${d_{1}}{d_{2}}-{d_{39}}{d_{40}}{d_{41}}+{d_{42}}{d_{43}}{d_{44}}$ tiene que ser divisible por $13$.

${d_{1}}{d_{2}}-{d_{39}}{d_{40}}{d_{41}}+{d_{42}}{d_{43}}{d_{44}}=22-222+220+{d_{44}}=20+{d_{44}}$.

Por lo tanto, $20+{d_{44}}$ tiene que ser divisible por $13$, y por lo tanto ${d_{44}}$ se $6$.