Cómo encontrar el límite $\lim\limits_{m\to\infty}\frac{m^{m-2}}{(m-1)^{m-2}}$ ?

Question

Estoy tratando de evaluar el límite de esto:

$$\lim_{m\rightarrow \infty} \frac{m^{m-2}}{(m-1)^{m-2}}$$

Eso es cálculo básico creo pero se me olvidan esos métodos para encontrar el límite. Creo que el límite es simplemente $e$ . ¿Alguien podría probarlo? Gracias.

Fei

Answer 1

$$\frac{m^{m-2}}{(m-1)^{m-2}}=\left(\frac{m}{m-1}\right)^{m-2}=\left(\frac{m-1+1}{m-1}\right)^{m-2}=\left(1+\frac{1}{m-1}\right)^{m-2}$$

Como $m\to \infty$ , $m-1\to \infty$ por lo que se puede sustituir el límite de este por $$\lim_{m\to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m-1}=\lim_{m\to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\lim_{m\to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{-1}=e\cdot 1=e$$

Answer 2

También se puede utilizar la continuidad de la función exponencial: observe que $$ \ln\left[\left(1+\frac{1}{m-1}\right)^{m-2}\right]=(m-2)\ln\left[1+\frac{1}{m-1}\right]=\frac{\ln\left[1+\frac{1}{m-2}\right]}{\frac{1}{m-2}}. $$ Tanto el numerador como el denominador tienden a 0 como $m\rightarrow\infty$ así, utilizando la regla de L'Hopital y las identidades $$ \frac{d}{dm}\ln\left[1+\frac{1}{m-2}\right]=-\frac{1}{(m-1)(m-2)} $$ y $$ \frac{d}{dm}\left[\frac{1}{m-2}\right]=-\frac{1}{(m-2)^2}, $$ encontramos $$ \lim_{m\rightarrow\infty}\frac{\ln\left[1+\frac{1}{m-2}\right]}{\frac{1}{m-2}}=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{(m-2)^2}{(m-1)(m-2)}=1. $$ Ahora, por continuidad de la función exponencial, si $\ln f(m)\rightarrow 1$ entonces $f(m)=e^{\ln f(m)}\rightarrow e^1=e$ .

Answer 3

$$\lim_{m\to \infty} \frac{m^{m-2}}{(m-1)^{m-2}}=\lim_{m\to \infty}\left( \frac{m}{m-1}\right)^{m-2}=\lim_{m\to \infty}\left( \frac{m-1+1}{m-1}\right)^{m-2}=$$ $$=\lim_{m\to \infty}\left( 1+\frac{1}{m-1}\right)^{m-1-1}=\lim_{m\to \infty}\left( 1+\frac{1}{m-1}\right)^{m-1}\left( 1+\frac{1}{m-1}\right)^{-1}=$$ $$=\lim_{m\to \infty}\left( 1+\frac{1}{m-1}\right)^{m-1}\lim_{m\to \infty}\left( 1+\frac{1}{m-1}\right)^{-1}=e\cdot 1=e$$

Answer 4

$$\frac{m^{m-2}}{(m-1)^{m-2}}=\left(1+\frac{1}{m-1}\right)^{m-2}\longrightarrow e$$ como $m\rightarrow\infty$ .