¿Qué hace el tensor de Ricci con dos vectores?

Question

Me ha resultado más fácil entender el significado de un determinado tensor si puedo averiguar qué hace si cancelo todos sus índices inferiores con vectores en definitiva:

• $g_{ij} u^i v^j$ : producto punto de $\mathbf u$ y $\mathbf v$ .
• $-\Gamma^k_{ij} u^i v^j$ : tasa de cambio de las coordenadas locales de $\mathbf u$ cuando se transporta en paralelo en la dirección de $\mathbf v$ .
• $R^l_{ijk} s^i u^j v^k$ forman un paralelogramo a partir de $\mathbf u$ y $\mathbf v$ en un punto determinado, el transporte paralelo $\mathbf s$ alrededor, el vector resultante representa el cambio de $\mathbf s$ después de completar el bucle, indicando así la curvatura del colector cerca de ese punto.

Ahora haciendo lo mismo con el tensor de Ricci, así $R_{ij} u^i v^j$ .

Así que proporcionas 2 vectores, y obtienes un número. ¿Cuál es el significado de los vectores en este caso? ¿Cuál es el significado del número resultante?

He leído que si los 2 vectores son iguales entonces dice cómo cambia el volumen de una bola movida a lo largo de una geodésica. Al igual que los símbolos de Christoffel te dicen qué aceleración sentirás si vas en línea recta (en coordenadas) hacia una dirección determinada cuando suministras el mismo vector dos veces.

Pero me gustaría saber el caso más general cuando los dos vectores no son iguales.

Answer 1

El tensor de Ricci, obviamente, es un tensor que acepta dos vectores y da como resultado un número. Este número representa en cierto sentido la curvatura seccional "media" en un lugar determinado de la variedad $M$ . En la RG, solemos utilizar variedades de espaciotiempo.

En su libro Geometría de Riemann Manfredo Do Carmo afirma lo siguiente en la página 97:

Dejemos que $x = z_n$ sea un vector unitario en $T_pM$ ; tomamos una base ortonormal $\lbrace z_1,z_2,...,z_{n-1}\rbrace$ del hiperplano en $T_pM$ ortogonal a $x$ y considera los siguientes promedios: \begin{equation} \text{Ric}_p(x) = \frac{1}{n-1} \sum_i \langle R(x,z_i)x,z_i \rangle \end{equation} para $i = 1,2,...,n-1$

Esta es una versión más formal de lo que dije en el primer párrafo. Permítanme añadir un poco más.

Si $u, v$ son vectores tangentes en un punto $p \in M$ entonces $$ Ric(u,v) = R_{ab} u^a v^b$$ Aquí, $u^a, v^b$ es la notación de índice abstracto. Nota, $Ric$ es simétrica, por lo que una forma de pensar en $Ric$ es interpretar $Ric(u,u)$ para todos los vectores tangentes $u$ (ya que esto determina $Ric$ en general), y basta entonces con tratar de entender esto cuando $||u|| = 1$ .

Por definición $Ric$ es la traza del tensor de curvatura de Riemann en sus primeros y últimos índices. Si $ u \in T_pM$ elegir una base ortonormal $e_1, \dots, e_n$ para $T_pM$ con $e_1 = u$ Entonces $$ Ric(u, u) = \sum_{i = 1}^n \langle R(e_i,u)u, e_i \rangle. $$ (Si sólo estás familiarizado con la notación de índice abstracto, lo de la derecha viene dado por $$ \langle R(u, v) x, y \rangle = g_{\tau d} R_{abc}^{\phantom{abc}\tau} u^a v^b x^c y^d, $$

Así que cuando $e_i, u$ son ortonormales, $\langle R(e_i, u)u, e_i \rangle$ da la curvatura de la sección del plano que abarca $e_i$ y $u$ . En particular, $$ \frac{1}{n-1} Ric(u, u), $$ cuando $||u|| = 1$ es una media de las curvaturas seccionales de 2 planos que pasan por $u$ .