$AXB$ tipo de descomposición?

Question

Deje $f: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})$ $\mathbb{C}$- lineal (el mapa no es necesariamente un álgebra de homomorphism). ¿Existen matrices $A_1, \dots, A_d \in M_n(\mathbb{C})$ $B_1 \dots, B_d \in M_n(\mathbb{C})$ tal que $$f(X) = \sum_{j = 1}^d A_jXB_j,\text{ }\forall\,X \in M_n(\mathbb{C})?$$

Answer 1

Usted puede construir un término en un tiempo dejando $A_j$ $B_j$ ser matrices que son ceros en todas partes excepto por una entrada. Esto requiere de $d = n^4$ en general; me imagino que se puede hacer mejor.

Answer 2

$f$ es la suma de en la mayoría de las $n^2$ tensor de productos. cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product

Prueba. Deje $A=[B_{k,l}]\in M_{n^2}$ ser el asociado bloque de la matriz, donde $B_{k,l}\in M_n$. Deje $C^{i,j}=[C_{k,l}]$ ser el bloque de la matriz definida por $C_{k,l}=0$ con la excepción de $C_{i,j}=B_{i,j}$. A continuación,$C^{i,j}=E_{i,j}\otimes B_{i,j}$; desde $A=\sum_{i,j}C^{i,j}$, hemos terminado. Tal vez podemos hacer mejor??

EDIT. Creo que no podemos hacer mejor. Por ejemplo, $A=\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{pmatrix}$ no puede ser escrito como la suma de menos de $4$ tensor de productos.