¿Cuál es la razón detrás de la actual Orden de las Operaciones? (PEMDAS)

Question

Después de leer a través de algunas otras preguntas, yo sólo estaba preguntándome: ¿Cómo fue el Orden de las Operaciones definidas, y por qué es este orden específico y no de otro?

La mayoría de nosotros sabemos cosas como la multiplicación/división antes de la adición/sustracción, paréntesis, etc - pero ¿cuál es la verdadera razón detrás de ella? Probablemente estoy sesgado siguiendo esas reglas desde la infancia, así que realmente no puedo pensar en ninguna otra manera.

2 + 2 x 2 = 6 and not 8

Pero si el orden sería cambiado, digamos que a "suma/resta antes de multiplicación/división" sería que el fin de trabajar aún si asumimos que las matemáticas se acumulan en él? O es que hay algo extraño problema matemático si estaríamos utilizando un orden diferente?

Por supuesto, los paréntesis tiene una función de agrupación por lo que siempre deben venir en primer lugar - estoy hablando fundamentalmente acerca de los exponentes, multiplicación, división, suma/resta (y tal vez otras operaciones de la izquierda).

Answer 1

Como Zach Stone señaló, el orden de las operaciones es sólo una convención, y si usted decide cambiar el orden, todo lo que iba a suceder es que usted necesita para usar paréntesis en diferentes lugares. Todo iba a salir bien, siempre y cuando hizo los ajustes correctos. Dicho esto, hay una razón por la convención. En cierto sentido, la multiplicación es simplemente la suma repetida. Además de exponenciación es simplemente la multiplicación repetida(siempre y cuando nos limitamos a enteros) por lo tanto, tiene sentido para el primer turno de todos los exponentes en la multiplicación, a continuación, activar todos multiplicación en adición, y luego calcule el problema de suma. Por lo tanto, al menos en los enteros se refiere, hay una natural orden de las operaciones según su propia definición. Se vuelve más complicado cuando empiezas a tratar con todos los números reales, pero el orden es heredado de la aritmética de enteros.

Answer 2

Vamos a suponer que la multiplicación de vino después de la adición. Trata de escribir esto sin paréntesis: $$(a\times b)+c$$ Usted encontrará esto muy duro. Con el actual orden de las operaciones, casi siempre podemos deshacernos de paréntesis, usando la distributividad leyes.

De hecho, la distributividad es lo que determina el orden de las operaciones. Exponentes distribuir a través de la multiplicación (es decir,$(a\times b)^c=a^c\times b^c$), por lo que los exponentes de venir antes de la multiplicación. La multiplicación distribuye sobre la suma (es decir,$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$), por lo que la multiplicación es lo primero. Con PEMDAS, podemos deshacernos de paréntesis usando la distributividad. Con un orden diferente ("PEASMD"?), nosotros no podemos.

Answer 3

En la mente de los hombres y demonios por igual, la multiplicación es una de las más importantes de la operación de adición. También, los seres humanos desarrollaron la notación algebraica de su idioma principal, que era el latín, cuando nací, pero ahora es el inglés.

Todavía recuerdo cuando Lincoln dio el discurso de Gettysburg. "Ochenta y siete años..." Ese $4 \times 20 + 7$ años. En alemán, él podría haber dicho "Sieben und achtzig Jahre encontrar verfloffen, feit unfere Väter auf diesem Continente einer neuen Nación..." Ese $7 + 4 \times 20$ años. Decenas, decenas, cientos, grosses, que es la manera de abordar un montón de números enteros, y luego ajustar con poco adiciones o sustracciones.

Mucho de esto es simplemente de sentido común. Pero fue el desarrollo de equipos que obligó a los seres humanos para codificar un montón de sentido común. Mientras que un ser humano comprende lo que significa $$\prod_{n = 1}^\infty 1 - \frac{(-1)^n}{\phi^{2n}}$$ a computer needs to be given this as $$\prod_{n = 1}^\infty \left(1 - \frac{(-1)^n}{\phi^{2n}}\right).$$

Mirar en casi cualquier libro sobre un lenguaje de programacion, o incluso de un lenguaje de scripting como Javascript, y una de las primeras cosas que va a ver invariablemente va a ser una tabla de precedencia de operadores. Un equipo, en su gloriosa estupidez, debe ser contada en qué orden hacer las operaciones.

Answer 4

Los polinomios son importantes por derecho propio, independientemente de la notación. Nos hemos asentado en una anotación que hace que sean fáciles de escribir. Que 'podría' sólo el uso de paréntesis entre cada operación, pero eso sería terrible. Es sólo una convención para simplificar la lectura y la escritura. El cambio de la convención de no romper nada, prefiero necesita una gran cantidad de paréntesis para expresar lo que queremos.

Un lugar donde los polinomios se producen orgánicamente es en el campo de las extensiones. Uno podría realmente hacer un poco de teoría de Galois sin nunca explícitamente escribir un polinomio. Del mismo modo, los polinomios se producen orgánicamente en álgebra lineal (se puede utilizar el tensor de productos para abstracto abstracto cosas como característica de polinomios). Sería más difícil, pero igual de poderosa. Pero esto ayuda a justificar por qué nos preocupamos de polinomios y por qué podría querer escribir.

Answer 5

Esto es realmente una cuestión lingüística, por lo que la respuesta es un típico lingüística respuesta: el orden de las operaciones es como es porque no se hizo la comunicación más eficiente.

Podemos cambiar el formato de nuestra notación para adaptarlo a nuestras necesidades. En el caso de que el operador de pedidos, generalmente se ha encontrado que las fórmulas fueron más legible con el orden de las operaciones (probablemente debido a la reducción en el número de símbolos de agrupación).

Considere la ecuación de movimiento con una aceleración constante $x = 1/2at^2 + vt + x_0$ Si no tuviéramos un poco de orden de operaciones similares a las de los actuales reglas tendríamos que escribir $x = (1/2a(t^2)) + (vt) + x_0$ Podríamos escribir de esa manera? Seguro, pero es más difícil.

A través de los años, los matemáticos encuentran el actual orden de las operaciones a ser muy conveniente, por lo que se adhieren a ella.

Esta difusa proceso es también la explicación de la famosa cerebro teaser $6/2(3) = ?$. Algunos creen que esto debe ser igual a 9 porque es el mismo como $6 / 2 \cdot 3$. Otros creen que debe ser igual a 1 debido a que la multiplicación por paréntesis une "más estrictos" que la división normal: $\frac{6}{2\cdot3}$. Tienen alguna base en la que apoyarse, porque la mayoría de nosotros está de acuerdo en que $6/xy == \frac{6}{xy}$, por lo que no queda claro de qué manera esto debe ir. La verdadera respuesta es que esto es un cambio, la ambigüedad lingüística que existe porque no ha sido lo suficientemente importante para que el mayor cuerpo de los matemáticos a un acuerdo. Si es que alguna vez llegaron a ser realmente importante, nos gustaría decidir de una manera u otra.