Lo que está mal con esta prueba de $0=1$?

Question

Estoy tratando de entender lo que está mal con la prueba publicado aquí que $0=1$ (fuente):

Dado cualquier $x$, tenemos (mediante la sustitución de $u=x^2/y$) $$\large\int_0^1\frac{x^3}{y^2}e^{-x^2/y}\,dy=\Biggl[xe^{-x^2/y}\Biggr]_0^1=xe^{-x^2}.$$ Por lo tanto, para todos los $x$, \begin{align} e^{-x^2}(1-2x^2)&=\frac{d}{dx}(xe^{-x^2})\\[0.5em] &= \frac{d}{dx}\int_0^1\frac{x^3}{y^2}e^{-x^2/y}\,dy\\[0.5em] &= \int_0^1\frac{\partial}{\partial x}\Biggl(\frac{x^3}{y^2}e^{-x^2/y}\Biggr)\,dy\\[0.5em] &= \int_0^1 e^{-x^2/y}\Biggl(\frac{3x^2}{y^2}-\frac{2x^4}{y^3}\Biggr)\,dy. \end{align} Ahora establezca $x=0$; el lado izquierdo es $e^0(1-0)=1$, pero el lado derecho es $\int_0^1 0\,dy=0$.

Seguramente debe ser incorrectas en algún lugar sin embargo no estoy seguro en qué paso se produce un error.

Answer 1

Demasiado largo para un comentario, pero no una respuesta.

Las fracciones $1/y$ es un arenque rojo, al menos.

Deje $u=\frac{1}{y}$, entonces usted tiene:

$$f(x)=\int_{0}^1\frac{x^3}{y^2}e^{-x^2/y}\,dy = \int_{1}^{\infty} x^3e^{-x^2u}\,du=xe^{-x^2}$$

A continuación, el argumento tendría:

$$\begin{align}e^{-x^2}(1-2x^2)&=f'(x)\\ &=\frac{\partial}{\partial x} \int_{1}^{\infty} x^3e^{-x^2u}\,du \\&=\int_{1}^{\infty}\frac{\partial}{\partial x}(x^3e^{-x^2u})\,du \\&=\int_{1}^{\infty}(3x^2-2x^4u)e^{-x^2u}\,du \end{align}$$

Por lo que el mismo argumento funciona sin las fracciones.

Answer 2

Continuando @Thomas Andrews agradable cálculos que simplifican la comprensión, se puede observar que no hay ningún problema aquí con derivación bajo el signo integral. En realidad, es cierto que $$ e^{-x^2}(1-2x^2)=\int_1^\infty (3x^2-2x^4u)e^{-x^2u}\,du. $$ El problema es que no es posible establecer $x=0$. Buscando, por ejemplo, en la primera parte de la última integral $$ \int_1^\infty x^2e^{-x^2u}\,du $$ uno podría creer que la configuración de $x=0$ daría el cero integrando y, por lo tanto, el cero integral. Veamos lo que ocurre cuando se $x\to 0$. El integrando, de hecho, va a cero uniformemente (que sería suficiente para que un número finito de medida), sin embargo, para un pequeño $x$ las colas de el integrando (para $u$) se vuelven más pesados y más pesados. Si queremos maximizar el integrando para un determinado $u$ obtenemos $e^{-1}/u$$x^2=1/u$. No es una función integrable, así Lebesgue teorema de Convergencia Dominada, no puede ser aplicada. Ni la monotonía de convergencia es verdad. De hecho, la integral va a $$ \int_1^\infty x^2e^{-x^2u}\,du=\int_1^\infty e^{-x^2u}\,d(x^2u)= -e^{-x^2u}\bigg|_1^\infty=e^{-x^2}\1, \quad x\a 0. $$

Answer 3

Deje $u=x^2/y$,$y=x^2/u$: $$ \int_0^1 e^{-x^2/y}\left(\frac{3x^2}{y^2}-\frac{2x^4}{y^3}\right)\,\mathrm{d}y =\int_{x^2}^\infty e^{-u}(3-2u)\,\mathrm{d}u $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \lim_{x\to0}\int_0^1 e^{-x^2/y}\left(\frac{3x^2}{y^2}-\frac{2x^4}{y^3}\right)\,\mathrm{d}y &=\int_0^\infty e^{-u}(3-2u)\,\mathrm{d}u\\[6pt] &=1 \end{align} $$ que no es $0$ como parece conseguir conectando $x=0$ en la integral de la izquierda. Es decir, la integral de la izquierda no es continua en a $x=0$.