Hallar la integral de la $I=\int_0^1{x^{-2/3}(1-x)^{-1/3}}dx$

Question

Tengo que encontrar las siguientes integrales usando el contorno de integración sin el uso de la información obtenida a partir de la función Beta:

$$I=\int_0^1{x^{\frac{-2}{3}}(1-x)^\frac{-1}{3}}dx$$

Puedo cambiar esto fácilmente útil a la integración compleja como

$$I=\left(\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}\right)\int_C{z^{\frac{-2}{3}}(z-1)^\frac{-1}{3}}dz$$ para algunos ruta C. El problema ahora está tratando de encontrar un adecuado contorno... sé que

$$z^{(-2/3)}=r^{(-2/3)}e^{5i\theta/3}$$

y

$$(z-1)^{(-1/3)}=\rho^{(-1/3)}e^{i\theta/3}$$

Pero siento que esto no me ayuda a encontrar un adecuado coutour para que yo pueda tomar ventaja de contorno de integración de cancelación de propiedades...

¿Qué debo hacer desde aquí?

Answer 1

@DrMV enfoque es el enfoque clásico que es ampliamente enseñado. Yo prefiero los siguientes ligeramente diferente de la descripción en la que el residuo en el infinito aparece de forma más natural.

Considere el siguiente contorno de la integral:

$$\oint_C dz \, z^{-2/3} (z-1)^{-1/3} $$

donde $C$ es el siguiente perfil:

es decir, un círculo de radio $R \gt 1$ con rodeos acerca de los puntos de ramificación en$z=0$$z=1$.

El contorno de la integral es entonces igual a

$$e^{i \pi} \int_R^{\epsilon} dx \, e^{-i 2 \pi/3} x^{-2/3} e^{-i \pi/3} (1+x)^{-1/3} + i \epsilon \int_{\pi}^0 d\phi \, e^{i \phi} \, \epsilon^{-2/3} e^{-i 2 \phi/3} \left (\epsilon e^{i \phi}-1 \right )^{-1/3} \\ + \int_{\epsilon}^{1-\epsilon} dx \, x^{-2/3} \, e^{-i \pi/3} (1-x)^{-1/3} + i \epsilon \int_{\pi}^{-\pi} d\phi \, e^{i \phi} \, \left (1+\epsilon e^{i \phi} \right )^{-2/3} \epsilon^{-1/3} e^{-i \phi/3} \\ + \int_{1-\epsilon}^{\epsilon} dx \, x^{-2/3} \, e^{i \pi/3} (1-x)^{-1/3} + i \epsilon \int_{2 \pi}^{\pi} d\phi \, e^{i \phi} \, \epsilon^{-2/3} e^{-i 2 \phi/3} \left (\epsilon e^{i \phi}-1 \right )^{-1/3}\\ + e^{-i \pi} \int_{\epsilon}^R dx \, e^{i 2 \pi/3} x^{-2/3} e^{i \pi/3} (1+x)^{-1/3}+ i R \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \, e^{i \theta} \, R^{-2/3} e^{-i 2 \theta/3} \left (R e^{i \theta}-1 \right )^{-1/3}$$

Tenga en cuenta que la primera y la séptima de las integrales de cancelar. También tenga en cuenta que, como $\epsilon \to 0$, el segundo, cuarto y sexto de las integrales de cada desaparecer. Que deja el tercer, quinto y octavo de las integrales. El tercer y el quinto integrales de combinar y el contorno de la integral se convierte en.

$$-i 2 \sin{\frac{2 \pi}{3}} \int_0^1 dx \, x^{-2/3} (1-x)^{-1/3} + i \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \, \left (1-\frac1{R e^{i \theta}} \right )^{-1/3}$$

Cuando expandimos el integrando de la última integral e integrar término por término, nos encontramos con que sólo el término constante sobrevive; así, esta integral es $i 2 \pi$. También, por Cauchy teorema, el contorno de la integral es cero. Así

$$\int_0^1 dx \, x^{-2/3} (1-x)^{-1/3} = \frac{\pi}{\sin{\frac{2 \pi}{3}}} = \frac{2 \pi}{\sqrt{3}}$$

Answer 2

Deje $f(z)=z^{-2/3}(1-z)^{-1/3}$. Tenga en cuenta que $f(z)$ tiene puntos de ramificación en$z=0$$z=1$. Elegimos cortes de ramas de (i) $(0,0)$ $(\infty,0)$y (ii) $(1,0)$$(\infty,0)$. A continuación, los argumentos de $z$ $1-z$ son, respectivamente,

$$0\le \arg(z)<2\pi$$

y

$$-\pi \arg(1-z)<\pi$$

Con esta elección de cortes de ramas, $f(z)$ es analítica en $\mathbb{C}\setminus[0,1]$. A ver que $f(z)$ es analítica en el eje real para que $\text{Re}(z)>1$, tenga en cuenta que se aproxima la recta real a partir de la mitad superior del plano, $-\frac23 \arg(z)-\frac13 \arg(1-z)=0+\pi/3=\pi/3$, mientras se aproxima a la línea real de la parte inferior de la mitad de avión, $-\frac23 \arg(z)-\frac13 \arg(1-z)=-4\pi/3-\pi/3=-5\pi/3$. En cuanto a $e^{i\pi/3}=e^{-i5\pi/3}$, llegamos a la conclusión de que $f(z)$ es analítica en $\mathbb{C}\setminus[0,1]$.

Pasamos ahora a analizar la integral de la $J$ dada por

$$\begin{align} J&=\oint_C f(z)\,dz\\\\ &=\oint_C z^{-2/3}(1-z)^{-1/3}\,dz \tag 1 \end{align}$$

donde $C$ es la clásica de un hueso de perro de contorno que encierra los puntos de ramificación de $f(z)$$z=0$$z=1$.

Desde $f(z)$ es analítica en todas partes exteriores para el dominio limitado por $C$,$J=2\pi i \text{Res}(f(z),z=\infty)$, donde el Residuo en el Infinito está dada por

$$\begin{align} \text{Res}\left(f(z),\infty \right) &= \text{Res}\left(-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),z=0\right)\\\\ &=\lim_{z\to 0}\,z\,\left(-\frac{1}{z^2}\,z^{2/3}\left(\frac{z-1}{z}\right)^{-1/3}\right)\\\\ &=-e^{-i\pi/3} \tag 2 \end{align}$$

Podemos escribir $J$ $(1)$ como la integral

$$\begin{align} J&=\oint_C z^{-2/3}(1-z)^{-1/3}\,dz\\\\ &=\int_1^0 x^{-2/3}(1-x)^{-1/3}\,dx+\int_0^1 e^{-i2\pi/3}x^{-2/3}(1-x)^{-1/3}\,dx\\\\ &=(e^{-i2\pi/3}-1)\int_0^1 x^{-2/3}(1-x)^{-1/3}\,dx \tag 3 \end{align}$$

El uso de los resultados en $(2)$ $(3)$ encontramos

$$\begin{align} \int_0^1 x^{-2/3}(1-x)^{-1/3}\,dx&=\frac{2\pi i (-e^{-i\pi/3})}{e^{-i2\pi/3}-1}\\\\ &=\frac{\pi}{\sin(\pi/3)} \end{align}$$

Por lo tanto,

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^1 x^{-2/3}(1-x)^{-1/3}\,dx=2\pi /\sqrt{3}}$$

Answer 3

Usando el contorno de $\gamma$

donde el círculo interno tiende a $0$ y el círculo exterior tiende a $\infty$, obtenemos $$ \begin{align} \int_\gamma\frac{z^{-a}}{1+z}\,\mathrm{d}z &=\int_0^\infty\frac{t^{-a}}{1+t}\,\mathrm{d}t-\int_0^\infty\frac{e^{-2\pi ia}t^{-a}}{1+t}\,\mathrm{d}t\\ &=\left(1-e^{-2\pi ia}\right)\int_0^\infty\frac{t^{-a}}{1+t}\,\mathrm{d}t\tag{1} \end{align} $$ Teniendo en cuenta la singularidad en $z=-1$, obtenemos $$ \begin{align} \int_\gamma\frac{z^{-a}}{1+z}\,\mathrm{d}z\tag{2} &=2\pi ie^{-\pi ia} \end{align} $$ Comparando $(1)$ $(2)$ da $$ \int_0^\infty\frac{t^{-a}}{1+t}\,\mathrm{d}t=\frac{\pi}{\sin(\pi)}\etiqueta{3} $$ Sustituyendo $t=\frac{x}{1-x}$ rendimientos $$ \int_0^1^{-a}(1-x)^{- 1}\,\mathrm{d}t=\frac{\pi}{\sin(\pi)}\etiqueta{4} $$ Conecte $a=\frac23$ da $$ \int_0^1^{-2/3}(1-x)^{-1/3}\,\mathrm{d}t=\frac{2\pi}{\sqrt3}\etiqueta{5} $$

Answer 4

Esta pregunta parece ser que se trata de probar la reflexión de la fórmula para la función gamma por el contorno de la integración. Supongo que entonces estaría fuera de lugar para presentar un prolijos prueba de la reflexión fórmula que no uso el contorno de la integración.

Sin embargo, para este valor concreto de que no se necesita la reflexión fórmula: $$\int_0^1x^{-2/3}(1-x)^{-1/3}dx=\text{B}\left(\frac13,\frac23\right)=\frac{\Gamma\left(\frac13\right)\Gamma\left(\frac23\right)}{\Gamma(1)}=\frac{\Gamma\left(\frac13\right)\Gamma\left(\frac23\right)\Gamma(1)}{\left(\Gamma(1)\right)^2}=\frac{2\pi\cdot3^{\frac12-3\left(\frac13\right)}\Gamma\left(3\left(\frac13\right)\right)}{\left(\Gamma(1)\right)^2}=\frac{2\pi}{\sqrt3}$$ El uso de la multiplicación de la fórmula para la función gamma por encima.