¿Cuál es la probabilidad de que un resultado después de N ensayos, si se deja de tratar una vez que estás "éxito"?

Question

Esta es la continuación de esta pregunta acerca de ser atropellado por un autobús.

En esta pregunta, hay una 1/1000 oportunidad de ser golpeado y la pregunta era acerca de la probabilidad de ser golpeado si se cruza la carretera 1000 tiempo.

Me preguntaba qué pasaría con esta probabilidad si dejé de intentar cruzar la carretera tan pronto como obtener el éxito. ¿La probabilidad de cambio?

Tan lejos como puedo figura, la probabilidad, a continuación, sólo se convierte en la suma de la serie geométrica

$$P(\text{hit by bus within 1000 crossings}) = \sum_{n=0}^{999} 1/1000 * (999/1000)^n$$

así

$$ P(\text{golpe en autobús dentro de 1000 cruces}) = 1/1000 * \frac{1-(999/1000)^{1000}}{1-999/1000} $$

Sin embargo, esto es idéntico a

$$P(\text{hit by bus within 1000 crossings}) = 1-P(\text{not hit by bus within 1000 crossing}) = 1-(999/1000)^{1000}$$

cual es la respuesta a la pregunta anterior. Soy curioso en cuanto a por qué ellos no son diferentes, ya que el primer enfoque es específicamente ignorando todos los casos en que (por ejemplo) me atropellado por un autobús en el primer intento y, a continuación, tratando de mantener y conseguir golpeado por la posterior de los autobuses.

Answer 1

Supongamos que yo comience la repetición de una serie de intentos para cruzar una calle donde Tengo un $1/1000$ de probabilidad de ser golpeado por un autobús durante un solo intento.

Ahora supongamos que cruzar la calle $49$ veces sin ser golpeado, pero en el quincuagésimo intento soy golpeado por un autobús.

En ese punto, ¿qué diferencia hace si yo intento otra $950$ cruces o nunca intente cruzar la calle de nuevo? Una diferencia obvia es que si sigo cruzando, podría ser golpeado por un autobús de nuevo. Yo podría ser golpeado varias veces antes de la $1000$th intento de cruzar. Esto hará una diferencia en el número esperado de veces me golpeó, lo cual es menos de uno si tengo la intención de renunciar después de ser golpeado una vez (máximo resultado es $1$ pero hay una probabilidad positiva de resultado $0$).

Pero $P(\text{hit by bus within 1000 crossings})$ no es el valor esperado. Es simple probabilidad. Después de cruzar número $50,$ durante el cual me fue golpeado por un autobús, no hay nada que yo puede hacer para cambiar el hecho de saber si he sido atropellado por un autobús. Yo ciertamente no puede ser unhit, y del mismo modo no hay manera de hacer que el predicado "hit en autobús dentro de $1000$ cruces" más probable de lo que ya es.

Por lo tanto, sería bastante notable (sospechoso, de hecho), si yo fuera a encontrar que el cálculo de $P(\text{hit by bus within 1000 crossings})$ depende de si el procedimiento es que yo deje de cruce si soy golpeado o continuar la travesía hasta he hecho de $1000$ veces.

Answer 2

Deje $q_n$ la probabilidad de no ser golpeado en la $n$-th cruce. A continuación, el primer cálculo de la probabilidad de la primera colisión, dentro de $N$ intentos puede escribirse como \begin{align} \sum_{n=0}^{N-1} (1-q_n)\prod_{k=0}^{n-1}q_k &=(1-q_0)+(q_0)(1-q_1)+(q_0q_1)(1-q_2) \\ &\quad \quad+\cdots+(q_1 q_2\cdots q_{N-1})(1-q_N)\\ &=1-q_0q_1+(q_0q_1)(1-q_2)+\cdots+(q_1 q_2\cdots q_{N-1})(1-q_N)\\ &=1-q_0q_1q_2+\cdots+(q_1 q_2\cdots q_{N-1})(1-q_N)\\ &\cdots\\ &=1-q_0 q_1\cdots q_{N-1}. \end{align} (Si está correctamente sketpical de álgebra aquí, usted puede comprobar esto con la inducción.) Pero este es el complemento de la probabilidad de no collsions ser visto a todos. Por eso, las dos probabilidades consideradas en el OP coinciden , independientemente de la probabilidad de colisión por prueba.

Answer 3

Son explícitamente la misma situación: la probabilidad de ser golpeado por lo menos una vez antes de terminar 1000 cruces. Si o no detener la búsqueda después de que se produce el evento no debe realizar ninguna diferencia a la probabilidad de que el evento ocurra. No hay presciencia de los futuros ensayos en el escenario.

Por otro lado, la probabilidad condicional de que te golpean al menos una vez dentro de los primeros cien cruces cuando usted (de alguna manera) sabe que va a recibir un golpe en la cien y el primer cruce es bastante depende de si dejar de cruzar después de ser golpeado una vez o no.

Answer 4

Esta es la probabilidad acumulada de la distribución geométrica - http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution

La distribución de probabilidad del número X de ensayos de Bernoulli necesario para obtener un éxito, apoyado en el conjunto { 1, 2, 3, ...}

El CDF es $1 - (1-p)^k$l.

Este es el mismo como Semiclásica de la respuesta (si las probabilidades son iguales), pero es muy útil para saber que esto tiene un nombre, como se puede más fácilmente de investigación de otras propiedades y comunicarse con otros acerca de él.