Derivado de la definición

Question

Deje $f$ ser una función derivable en a $x_0$. Calcular los siguientes $\lim$: $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}{5h}$$

ya que sabemos por la teoría de que $f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, luego

Me dijo que $x_0-h=t$ $x_0+2h=t+3h$ donde $3h=k$ $$\frac{3}{5}\lim_{k\to 0}\frac{f(t+k)-f(t)}{k}=\frac{3}{5}f'(t)=\frac{3}{5}f'(x_0-h)$$

Answer 1

$$ \dfrac{f(x_0 + 2h) - f(x_0 - h)}{5} = \dfrac{2}{5}\dfrac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{2h} + \frac{1}{5}\dfrac{f(x_0 - h) - f(x_0)} {h} $$

Ahora toma el límite de $h \to 0$.