Hallar el coeficiente del polinomio?

Question

El coeficiente de $x^{12}$ $(x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + …)^3$ es_______?

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En algún lugar de explicar como:

La expresión puede ser re-escrita como: $(x^3 (1+ x + x^2 + x^3 + …))^3=x^9(1+(x+x^2+x^3))^3$ La expansión de $(1+(x+x^2+x^3))^3$ usando el binomio de expansión:

$(1+(x+x^2+x^3))^3$

$= 1+3(x+x^2+x^3)+3*2/2((x+x^2+x^3)^2+3*2*1/6(x+x^2+x^3)^3…..$

El coeficiente de $x^3$$10$, se multiplica por $x^9$ exterior, por lo que el coeficiente de $x^{12}$$10$.

Puede usted explicar de manera formal, por favor?

Answer 1

Básicamente es el número de maneras en que usted puede escribir $12$ como una suma de tres enteros todos mayor que o igual a $3$, donde el orden de los asuntos. Así $12=3+3+6$, $12=3+4+5$, $12=4+4+4$. La primera puede ser reorganizado de tres maneras, el segundo puede ser reorganizado de seis maneras y la última sólo puede ser organizado de una manera. Así que sí, creo que la respuesta es $10$.

Answer 2

$$(x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots)^3=x^9(1+x+x^2+\cdots)^3=x^9\left(\dfrac1{1-x}\right)^3=x^9(1-x)^{-3}$$

Ahora, tenemos el coeficiente de $x^3$ $(1-x)^{-3}$

Ahora el $r+1,(r\ge0)$el plazo de la $(1-x)^{-3}$ $$\dfrac{-3(-4)(-5)\cdots(-r)(-r-1)(-r-2)}{1\cdot2\cdot3\cdot r}(-x)^r=\binom{r+2}2x^r$$

Answer 3

A partir de la OP, el coeficiente de $x^{12}$ $(x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + \cdots)^3$ es igual a la de $x^3$$(1+x+x^2+x^3)^3$. Esto es equivalente a pedir el número de formas de seleccionar un $x^i$ por debajo de cada fila, de modo que el producto de la $x^i$ recogido en cada fila es de la forma $kx^3$ para un número $k$.

$$\requieren{encerrar} \bbox[border:2px solid red] { \begin{array}{c|c|c|c} x^0 & x^1 & x^2 & x^3 \\ \hline x^0 & x^1 & x^2 & x^3 \\ \hline x^0 & x^1 & x^2 & x^3 \end{array} }$$

Si nos centramos en los índices, se encontrará que esto es equivalente a pedir el número de maneras de elegir un número de cada fila, de modo que la suma de tres números escogidos se añade hasta tres.

$$\bbox[border:2px solid red] { \begin{array}{c|c|c|c} 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} }$$

Por lo tanto, el problema está pidiendo $$\#\{x,y,z\in\Bbb Z_0^+ \mid x \color{blue}{\fbox+} y \color{red}{\fbox+} z = 3\}.$$

Por lo tanto, la respuesta es muy simple: ${5 \choose 2} = 10$. En primer lugar, imagina que tenemos un $5\times 1$ cuadrícula.

$$\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline \\ &&&& \\ \hline \end{array}$$

A continuación, elige a dos redes para poner $\color{blue}{\fbox+}$$\color{red}{\fbox+}$. Estos dos signos más simboliza $x\color{blue}{\fbox+}y\color{red}{\fbox+}z=3$. Por lo tanto, $\color{blue}{\fbox+}$ debe estar a la izquierda de $\color{red}{\fbox+}$. La imagen de abajo sirve como un ejemplo.

$$\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline \\ &\color{blue}{\fbox+}&\color{red}{\fbox+}&& \\ \hline \tag{*} \label{*} \end{array}$$

Llenar el resto de las cuadrículas con tres $\enclose{circle}{1}$ a ver qué pasa.

$$\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline \\ \enclose{circle}{1}&\color{blue}{\fbox+}&\color{red}{\fbox+}&\enclose{circle}{1}&\enclose{circle}{1} \\ \hline \end{array}$$

Por lo tanto, en este ejemplo se muestra una posibilidad de $x=1,y=0,z=2$. Usted puede hacer hasta otros eligiendo otras combinaciones en $\eqref{*}$.

Answer 4

De otra manera: Para $|x|<1$, tenemos:

$$(x^3+x^4+x^5+...)^3=x^9(1+x+x^2+...)^3=x^9(1-x)^{-1}.$$

Ahora $(1-x)^{-3}$ es la mitad de la segunda derivada de $(1-x)^{-1}.$ La segunda derivada de $(1-x)^{-1}=(1+x+x^2+...)$ $(1.2+2.3 x+3.4 x^2+4.5 x^3+...).$ la Mitad de los co-eficientes de $x^3$ en este, que es $(1/2).4.5=10,$ es, por tanto, el co-eficiente de $x^{12}$ $x^9(1+x+x^2+...).$