A partir de la OP, el coeficiente de $x^{12}$ $(x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + \cdots)^3$ es igual a la de $x^3$$(1+x+x^2+x^3)^3$. Esto es equivalente a pedir el número de formas de seleccionar un $x^i$ por debajo de cada fila, de modo que el producto de la $x^i$ recogido en cada fila es de la forma $kx^3$ para un número $k$.
$$ \requieren{encerrar} \bbox[border:2px solid red]
{
\begin{array}{c|c|c|c}
x^0 & x^1 & x^2 & x^3 \\ \hline
x^0 & x^1 & x^2 & x^3 \\ \hline
x^0 & x^1 & x^2 & x^3
\end{array}
}
$$
Si nos centramos en los índices, se encontrará que esto es equivalente a pedir el número de maneras de elegir un número de cada fila, de modo que la suma de tres números escogidos se añade hasta tres.
$$ \bbox[border:2px solid red]
{
\begin{array}{c|c|c|c}
0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
0 & 1 & 2 & 3
\end{array}
}
$$
Por lo tanto, el problema está pidiendo $$\#\{x,y,z\in\Bbb Z_0^+ \mid x \color{blue}{\fbox+} y \color{red}{\fbox+} z = 3\}.$$
Por lo tanto, la respuesta es muy simple: ${5 \choose 2} = 10$. En primer lugar, imagina que tenemos un $5\times 1$ cuadrícula.
\begin{array}{|l|l|l|l|l|}
\hline \\
&&&& \\ \hline
\end{array}
A continuación, elige a dos redes para poner $\color{blue}{\fbox+}$$\color{red}{\fbox+}$. Estos dos signos más simboliza $x\color{blue}{\fbox+}y\color{red}{\fbox+}z=3$. Por lo tanto, $\color{blue}{\fbox+}$ debe estar a la izquierda de $\color{red}{\fbox+}$. La imagen de abajo sirve como un ejemplo.
\begin{array}{|l|l|l|l|l|}
\hline \\
&\color{blue}{\fbox+}&\color{red}{\fbox+}&& \\ \hline \tag{*} \label{*}
\end{array}
Llenar el resto de las cuadrículas con tres $\enclose{circle}{1}$ a ver qué pasa.
\begin{array}{|l|l|l|l|l|}
\hline \\
\enclose{circle}{1}&\color{blue}{\fbox+}&\color{red}{\fbox+}&\enclose{circle}{1}&\enclose{circle}{1} \\ \hline
\end{array}
Por lo tanto, en este ejemplo se muestra una posibilidad de $x=1,y=0,z=2$. Usted puede hacer hasta otros eligiendo otras combinaciones en \eqref{*}.
