El seguimiento de "Prueba de $X \times X \hookrightarrow X$ implica $[X]^2 \hookrightarrow X$"

Question

Este es un seguimiento sobre esta cuestión anterior de la mina.

Tenemos las siguientes declaraciones:

(HSO) Para cada conjunto infinito $X$ existe una inyección de $f: X \times X \hookrightarrow X$

(HSU) Para cada conjunto infinito $X$ existe una inyección de $f: [X]^2 \hookrightarrow X$

Se puede demostrar (HSO) $\rightarrow $ (HSU) como sigue:

Asumir (HSO). Desde $h: X \to X \times X$, $x \mapsto (x,x)$ es una inyección por (HSO) y Cantor-Schröder-Bernstein, $X \approx X \times X$ por cada conjunto infinito $X$. Por un resultado de Tarski, que el segundo implica el Axioma de Elección. Una vez que tenemos AC podemos probar HSU de la siguiente manera: vamos a $f: X \times X \to X$ inyección. Para cada desordenada par $\{x,y\}$ elija $g(\{x,y\})$ desde el set $\{f((x,y)), f((y,x))\}$.

El siguiente es un ejercicio que no he podido resolver:

Ejercicio 40: Encontrar una simple prueba de la implicación (HSO) $\rightarrow$ (HSU) en ZF.

Alguien me puede ayudar a resolver este ejercicio? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Asumir (HSO). Considere la siguiente inyección $\varphi:[X]^2\to X\times X$ definido por $ \{x, y\} \mapsto (\text{min}\{x,y\}, \text{max}\{x,y\})$. Luego, usando (HSO) se consigue una inyección de $f: X\times X \to X$. Dado que la composición de las inyecciones es una inyección, el mapa de $f\circ \varphi:[X]^2\to X$ es una inyección, lo que demuestra (HSU).