Esto no es realmente una respuesta - que dejo a los expertos - sólo un pensamiento (posiblemente inútil). Dejemos que $R=k[x_1,\dots,x_n]$ y $I=(Q_1,\dots,Q_s)\subset R$ el ideal que define $V$ . Cada $V_i$ corresponde a un ideal primo $\mathfrak p_i\subset R$ (mínimo por encima de aquellos) que contengan $I$ . Fijemos $\mathfrak p=\mathfrak p_1$ y trabajar con $V_1=V(\mathfrak p)$ donde, como hemos dicho, $\mathfrak p=(f_1,\dots,f_r)\supset I$ .
Ahora, la primera pregunta es sobre la descomposición primaria de $I$ . El número $m$ es el número de primos mínimos en Ass $_R(R/I)$ . No sé si hay un límite en $m$ . Por supuesto, es $\leq |\textrm{Ass}_R(R/I)|$ pero no me parece que esta cifra pueda depender del grado de $Q_j$ 's. De hecho (pero es sólo una idea ingenua), considere los enteros $\mathbb Z$ y mira algunos $n=\prod_{i=1}^Mp_i^{e_i}$ donde el $e_i$ pueden ser potencias muy grandes, y $p_i$ son números primos. Bien, si $l=\prod_{i=1}^Mp_i$ entonces $(n)$ y $(l)$ tienen los mismos primos asociados, y el número $M$ de tales primos asociados no depende de lo grande que sea el generador $n$ es (de ahí mi pensamiento de que, en nuestra situación, $m$ no debería depender de lo grande que sea el grado de los generadores).
Para su segunda pregunta, sólo puedo observar que para cada $j$ se tiene $Q_j\in\mathfrak p$ así que $Q_j=\sum_{i=1}^ra_if_i^{b_i}$ para que $\deg Q_j=\max\,(b_i\cdot\deg f_i)\geq\deg f_h$ para todos $1\leq h\leq r$ .
