Pregunta sobre la demostración del teorema de Going-down

Question

He escrito una demostración del teorema de Going-down que no utiliza algunos de los supuestos por lo que es falsa pero no encuentro el error. ¿Puedes decir dónde está el error?

*Abajo* $^\prime$ : Dejemos que $R,S$ sean anillos tales que $S \subset R$ y $R$ es integral sobre $S$ . Sea $q_1$ sea un ideal primo en $R$ tal que $p_1 = q_1 \cap S$ es un ideal primo en $S$ . Sea $p_2 \subset p_1$ sea otro ideal primo en $S$ . Entonces existe un ideal primo $q_2$ en $R$ s.t. $q_2 \cap S = p_2$ . (Nota: los supuestos que faltan son que $R,S$ son dominios integrales y $S$ es integralmente cerrado)

Teoremas que utilizamos para la prueba falsa:

1.(5.10) Sea $A \subset B$ ser anillos, $B$ integral sobre $A$ y que $p$ sea un ideal primo de $A$ . Entonces existe un ideal primo $q$ de $B$ tal que $q \cap A = p$ .

2.(5.6.)Si $S$ es un subconjunto cerrado multiplicativo de $A$ y $B$ es integral sobre $A$ entonces $S^{-1}B$ es integral sobre $S^{-1}A$ .

3.(3.11 iv)) Los ideales primos de $S^{-1}A$ están en correspondencia uno a uno ( $p \leftrightarrow S^{-1}p$ ) con ideales primos de $A$ que no cumplen $S$ .

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Una prueba falsa:

Por (5.6), $R_{q_1}$ es integral sobre $S_{p_1}$ . Por (3.11), $\overline{p_2} = {p_2}_{p_1}$ es primo en $S_{p_1}$ desde $p_2 \subset p_1$ por suposición. Por (5.10) existe un ideal primo $\overline{q_2}$ en $R_{q_1}$ tal que $\overline{q_2} \cap S_{p_1} = \overline{p_2}$ . Sabemos que el siguiente diagrama conmuta: $$ \begin{matrix} S & \xrightarrow{i} & R \\ \left\downarrow{\psi}\vphantom{\int}\right. & & \left\downarrow{\varphi}\vphantom{\int}\right.\\ S_{p_1}& \xrightarrow{i_{p_1}} & R_{q_1} \end{matrix} $$

Afirmamos que $q_2 = \varphi^{-1}\overline{q_2}$ es un ideal tal que $q_2 \subset q_1$ y $q_2 \cap S = p_2$ . La reclamación $q_2 \subset q_1$ se deduce por construcción (o de (3.11)). También tenemos $$ \varphi^{-1} (\overline{q_2}) \cap S = i^{-1}\varphi^{-1}(\overline{q_2}) = \psi^{-1}i^{-1}_{p_1}(\overline{q_2}) = \psi^{-1}(S_{p_1} \cap \overline{q_2} ) = \psi^{-1}(\overline{q_2}) = p_2$$

Answer 1

Comienza su prueba con "Por (5.6), $R_{q_1}$ es integral sobre $S_{p_1}$ "
Pero este recurso a (5.6) es ilegítimo: el conjunto multiplicativo aquí es $\Sigma=S\setminus \mathfrak p_1 $ .
Sin embargo, $R_{\mathfrak q_1}=T^{-1}R $ donde $T=R\setminus \mathfrak {q}_1$ y sólo tenemos $\Sigma \subset T$ no $\Sigma=T$ .
(¡No pienses, dibuja un diagrama de Venn!)

Así que $S_{\mathfrak p_1}\to \Sigma^{-1} R$ es efectivamente integral, pero $S_{p_1}\to R_{q_1}$ no tiene ninguna razón para ser integral.

Editar
En el ejercicio 4 del mismo capítulo 5 los autores dan un ejemplo en el que efectivamente $R_{q_1}$ no es integral sobre $S_{p_1}$ , por lo que no es sólo que no se pueda aplicar (5.6), sino que el resultado (no es sorprendente) es imposible de deducir de la hipótesis demasiado débil.