Demostrar que la matriz de $A$ diagonalizable si $A^2=I$ usando el polinomio característico

Question

Demostrar que la matriz de $A$ es diagonalizable si $A^2=I$ utilizando la característica polinomio

Vi una respuesta que utiliza el polinomio mínimo de a $A$. Puede ser probado sin el uso de un mínimo de polinomio? En mi universidad no aprendimos un mínimo de polinomio y por lo tanto no podemos utilizar en nuestras tareas y exámenes.

No llegamos a esta pregunta en particular para la tarea, pero yo sólo quería saber si puedo usar este reclamo en mis tareas y exámenes.

Answer 1

Vamos a hacerlo por encima de los números reales - se ha señalado en un comentario que no es de carácter 2.

Deje $v$ ser cualquier vector de la base del espacio vectorial $V$. Entonces $$\etiqueta{eq} v = \dfrac12 \left((A + I) - v (a - I) v\right). $$ (Por CIERTO, esto no se sostiene cuando no se puede dividir por $2$, es decir, en el carácter $2$.)

Además, cada vector de $(A - I)v$ es un autovector de a $A$ en relación al autovalor $-1$, como $$ Un ((A -I) a v) = (A^2 - A) v = (I - A)v = -(a-I) v, $$ y cada uno de los vectores $(A + I)v$ es un autovector de a $A$ en relación al autovalor $1$, como $$ Un ((A + I), v) = (A^2 + A) v = (I + A)v = (A + I) v. $$ Debido a (eq), cada vector es la suma de un elemento de la imagen $U$ $A - I$ y un elemento de la imagen $W$$A + I$. Elegir una base de $U$ (lo que hemos visto es de los vectores propios de a $A$ con respecto al autovalor $-1$) y una base de $A$ (lo que hemos visto es de los vectores propios de a $A$ con respecto al autovalor $1$), y se obtendrá una base de $V$ hecho de vectores propios de a $A$.

Hemos utilizado el hecho de que $U \cap W = \{ 0 \}$. De hecho, si $z \in U \cap W$,$z = A z = - z$, y por lo tanto $2 z = 0$, por lo que el $z = 0$, otra vez, porque podemos dividir por $2$.