El significado de la no-existencia de expectativas?

Question

Cuando la lectura de otro post, me preguntaba acerca de la definición de la existencia de la esperanza de una variable aleatoria.

1. A Partir De Kai Lai Chung,

   Decimos que una variable aleatoria $X$ tiene un finito o infinito de la expectativa (o valor esperado) de acuerdo como $E(X)$ es un número finito o no. En el esperaba caso diremos que el la expectativa de X no existe.

   Me preguntaba qué entiende por "la espera de caso" en la última oración? Es esta considerado como el significado de la no-existencia de expectativa?

2. De La Wikipedia:

   Sea X una variable aleatoria discreta. Entonces el valor esperado de esta azar variable es la suma infinita $$\operatorname{E}[X] = \sum_{i=1}^\infty x_i\, p_i, $$ siempre que esta serie converge absolutamente (es decir, la suma debe ser siendo finito si vamos a reemplazar todos los $x_i$'s con su absoluto los valores). Si esta serie no convergen absolutamente, podemos decir que la el valor esperado de $X$ no existe.

   Me preguntaba

   • si el sentido de la inexistencia de la expectativa de aquí es la consistencia con el uno por Kai Lai Chung,
   • si el sentido de la inexistencia de la expectativa de aquí es la consistencia con la inexistencia de Lebesgue integral en Rudin del libro donde dice Legesgue integral de un valor real
     Boreal-medible función no existen si y sólo si las integrales de la parte positiva y de la la parte negativa son infinito, que permiten la integral de existir cuando es infinito.
   • si la expectativa es infinito, entonces la expectativa es considerado como la inexistencia?

Answer 1

Como Numth dice, a la espera que el caso se parece a un error tipográfico. Sospecho que el proyecto original trató de decir el exceptuados caso, refiriéndose a la anterior ", a Menos que ambas $E[X^{+}]$$E[X^{-}]$$+\infty, \ldots$".

Así que Kai Lai Chung está preparada para tratar infinito expectativas existentes, mientras que la actual definición de Wikipedia no. Un ejemplo podría ser el de San Petersburgo juego. En que artículo de la Wikipedia dice que "la ganancia esperada para el jugador de este juego, al menos en su forma idealizada, en la que el casino tiene recursos ilimitados, es una cantidad infinita de dinero".

Chung definición es la misma que Rudin. Cualquier expectativa que dicen que no existe, no existe en la Wikipedia la definición: un ejemplo sería un discreto aproximación a la distribución de Cauchy. Como Chung y Rubin no aceptar algunos infinito expectativas, algunas otras declaraciones deben ser calificados, tales como la expectativa de la suma de un número finito de variables aleatorias que son la suma de las expectativas de las variables aleatorias; Wikipedia la definición evita este problema.

Answer 2

Con la notación habitual, se descomponen $X$ $X=X^+ - X^-$ (tenga en cuenta también que $|X|=X^+ + X^-$). $X$ se dice finito expectativa (o sea integrable) si ${\rm E}(X^+)$ ${\rm E}(X^-)$ son finitos. En este caso,${\rm E}(X) = {\rm E}(X^+) - {\rm E}(X^-)$. Por otra parte, si ${\rm E}(X^+) = +\infty$ (respectivamente, ${\rm E}(X^-) = +\infty$) y ${\rm E}(X^-)<\infty$ (respectivamente, ${\rm E}(X^+)<\infty$), ${\rm E}(X) = +\infty$ (respectivamente, ${\rm E}(X) = -\infty$). Por eso, $X$ es permitido tener infinito expectativa.

Siempre que ${\rm E}(X)$ existe (finito o infinito), el fuerte de la ley de los grandes números tiene. Es decir, si $X_1,X_2,\ldots$ es una secuencia de yo.yo.d. variables aleatorias con finito o infinito expectativa, dejando $S_n = X_1+\cdots + X_n$, tiene $n^{-1}S_n \to {\rm E}(X_1)$ casi seguramente. El infinito expectativa caso sigue por el caso finito por la monotonía teorema de convergencia.

Si, por otro lado, ${\rm E}(X^+) = +\infty $${\rm E}(X^-) = +\infty $, $X$ no admitir una expectativa. En este caso, debe de los siguientes debe ocurrir (un resultado por Kesten, ver Teorema 1 en el papel de La fuerte ley de los grandes números, cuando la media es indefinido, por K. Bruce Erickson): 1) Casi seguramente, $n^{-1}S_n \to +\infty$; 2) Casi seguramente, $n^{-1}S_n \to -\infty$; 3) Casi seguramente, $\lim \sup n^{ - 1} S_n = + \infty$$\lim \inf n^{ - 1} S_n = - \infty$.

EDIT: Ya que usted menciona el reciente post de las variables aleatorias, de manera que ${\rm E}[X]$ ${\rm E}[Y]$ existen, pero ${\rm E}[XY]$ no?", vale la pena subrayar la diferencia entre "$X$ tiene la expectativa" y "$X$ es integrable". Por definición, $X$ es integrable si $|X|$ ha finito expectativa (recordemos que $|X|=X^+ + X^-$). Así, por ejemplo, la variable aleatoria $X=1/U$ donde $U \sim {\rm uniform}(0,1)$, no es integrable, sin embargo, tiene (infinito) expectativa (de hecho, $\int_0^1 {x^{ - 1} \,{\rm d}x} = \infty $). Además, cabe destacar los siguientes. Una variable aleatoria $X$ es integrable (es decir, ${\rm E}|X|<\infty$) si y sólo si $$ \int_\Omega {|X|\,{\rm dP}} = \int_{ - \infty }^\infty {|x|\,{\rm d}F(x)} < \infty . $$ Una variable aleatoria tiene la expectativa de si y sólo si $$ \int_\Omega {X^ + \,{\rm dP}} = \int_{ - \infty }^\infty {\max \{ x,0\} \,{\rm d}F(x)} = \int_0^\infty {x\,{\rm d}F(x)} < \infty $$ o $$ \int_\Omega {X^ - \,{\rm dP}} = \int_{ - \infty }^\infty {-\min \{ x,0\} \,{\rm d}F(x)} = \int_{ - \infty }^0 {|x|\,{\rm d}F(x)} < \infty. $$ En cualquiera de estos casos, la expectativa de $X$ está dado por $$ {\rm E}(X) = \int_0^\infty {x\,{\rm d}F(x)} - \int_{ - \infty }^0 {|x|\,{\rm d}F(x)} \in [-\infty,\infty]. $$ Finalmente, $X$ no admitir una expectativa si y sólo si ambas $\int_\Omega {X^ + \,{\rm dP}} = \int_0^\infty {x\,{\rm d}F(x)}$ $\int_\Omega {X^ - \,{\rm dP}} = \int_{ - \infty }^0 {|x|\,{\rm d}F(x)} $ son infinitas. Así, por ejemplo, una de Cauchy variable aleatoria con función de densidad $f(x) = \frac{1}{{\pi (1 + x^2 )}}$, $x \in \mathbb{R}$, aunque simétrica, no admite una expectativa, ya que tanto $\int_0^\infty {xf(x)\,{\rm d}x}$ $\int_{ - \infty }^0 {|x|f(x)\,{\rm d}x}$ son infinitas.